刘侍刚 辛晓萌 彭亚丽 宋小云
摘 要： 为了有效地对学生成绩数据进行恢复，提出一种迭代奇异值分解的学生成绩恢复方法。该方法采用矩阵表示学生成绩，利用该矩阵具有低秩的特性，在给定缺失元素的初始值后，利用奇异值分解得到缺失元素的近似值，而该近似值比初始值更加接近真实值。再将求到的近似值代替初始值，经过多次迭代，最终可求到成绩表中缺失元素的真实值。该方法的优点是在缺失元素恢复过程中，利用了所有已知元素信息，并将所有已知元素平等地对待。模拟实验和真实实验结果表明该方法能够快速、精确地恢复出学生的真实成绩。
关键词： 学生成绩； 缺失元素； 低秩矩阵； 奇异值分解
中图分类号： TN911?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）10?0001?04
Abstract： To recover the missing student scores， an iterative singular value decomposition （SVD） method is presented in this paper. The student scores are depicted by a matrix with low rank. Given initial values of missing data， the approximate values which are nearer the real values than the initial values can be obtained by SVD method. After several iterations， the real values can be recovered. The innovations of the method are that all the known elements are utilized in process ofmissing data recover and all the known elements are treated uniformly. Therefore， the method can precisely recover the missing data. The experimental results with both simulate and real data show that the presented method has the ability to recover the students scores rapidly and accurately.
Keywords： student score； missing data； low rank matrix； singular value decomposition
0 引 言
学生成绩是学籍管理中的重要内容之一，它是学校评价学生的最主要的指标之一[1?3]。学生成绩恢复是指学生成绩由于漏输或者学生没有选修该课程等原因导致学生成绩数据不完整，通过一定的技术将该成绩恢复出来。目前，学校鼓励开设任选课以提高学生的综合素质，学生具有较大的选择课程的自主权。由于学生选择的课程不同，任课教师也就不可能一样，那么教师在给学生评分时尺度也就不一样。同时，所选修的课程也难度不一样，所以导致学生最终的分数也存在差别。但学生的得分却是学生评比中最主要的因素。为了克服这些原因导致学生得分不一致，许多学校在对学生成绩评比中，不考虑任选课，而仅考虑全班所有同学都学了的课程。这样导致学生不重视选修课的学生。同时，对于那些选修课学得好的同学，也是不公平的。为了克服这些缺点，本文利用学生成绩表可以表示为一个矩阵，并利用该矩阵具有低秩的特点，将没有选修该课程的成绩恢复出来。
基于低秩矩阵缺失元素的恢复在计算机视觉、医学图像分析等领域中具有广泛的用途[4?6]。Tomasi等人利用子矩阵法对矩阵缺失元素进行恢复[7]，但是该方法恢复结果依赖于所选取的子矩阵。为了克服该缺点，Ma等人通过矩阵的行列变换，将所有的已知元素变换到矩阵的左上角，再利用这些已知的元素，一个一个地将缺失元素恢复[8]。但是该方法在恢复缺失元素时，利用了已恢复元素的信息，这样必然会导致误差的积累。有些学者采用进化的方法对缺失元素进行恢复[9]，但该方法运算量大，而且易出现早熟现象。有些学者采用非线性规划的方法进行求解[10]，但是这些方法收敛速度比较慢，尤其是到了算法的后期。
为了克服上述缺点，本文采用迭代奇异值分解的方法对缺失元素进行恢复，该方法对矩阵进行SVD分解，得到一个低秩矩阵，将低秩矩阵中的元素代替未知元素，再循环进行SVD分解。
该方法的优点是在矩阵恢复过程中，利用了所有已知元素信息，而且将所有已知元素平等地对待，这样必然恢复精度高。
1 迭代矩阵奇异值分解的缺失数据恢复方法
3 结 语
本文为了有效地对学生成绩数据进行恢复，提出 了一种迭代奇异值分解的学生成绩恢复方法。该方法将学生成绩表示为一个矩阵，利用该矩阵具有低秩的特性，在给定缺失元素的初始值后，采用迭代奇异值分解的方法，最终求取成绩表中缺失元素的真实值。模拟实验和真实实验结果表明该方法能够快速、正确地恢复出学生的真实成绩。
参考文献
[1] ROBERTS M， GIERL M. Developing score reports for cognitive diagnostic assessments [J]. Educational Measurement： Issues and Practice， 2010， 29（3）： 25?38.
[2] KOEDEL C， BETTS J. Does student sorting invalidate value?added models of teacher effectiveness [J]. Education Finance and Policy， 2011， 6（1）： 18?42.
[3] CANDES E， TAO T. The power of convex relaxation： near?optimal matrix completion [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2009， 56（5）： 2053?2080.
[4] 彭亚丽，刘芳，焦李成，等.基于秩4约束的遮挡点恢复方法[J]. 机器人，2008，30（2）：138?141.
[5] 彭亚丽，刘芳，焦李成，等.正投影模型下基于1维子空间的遮挡点恢复方法[J].仪器仪表学报，2011，32（9）：2029?2033.
[6] 彭亚丽，刘侍刚，刘芳.基于秩1约束的三维重建方法[J].信号处理，2010，26（1）：28?31.
[7] TOMASI C， KANADE T. Shape and motion from image streams under orthography： a factorization method [J]. International Journal of Computer Vision [J]. 2010， 65（2）： 137?154.
[8] MA Y， HUANG K， VIDAL R. Rank conditions on the multiple?view matrix [J]. International Journal of Computer Vision， 2011， 66（2）： 115?137.
[9] 彭亚丽，刘芳.一种组织进化的遮挡点恢复算法[J].西安电子科技大学学报，2013，40（4）：1466?1469.
[10] 刘侍刚，吴清亮，彭亚丽，等.一种准线性集束调整方法[J].光电工程，2011，38（5）：103?107.
[11] 刘侍刚，彭亚丽，徐秋平，等.基于秩3约束的遮挡点恢复方法[J]. 仪器仪表学报，2008，29（12）：2622?2625.
[12] 刘侍刚，彭亚丽，韩崇昭，等.3维子空间约束的遮挡点恢复方法[J].西安交通大学学报，2009，43（4）：10?13.
[13] CAI J， CANDES E， SHEN Z. A singular value thresholding algorithm for matrix completion [J]. Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Optimization， 2010， 20（4）： 1956?1982.
[14] 周俊秀，裘国永，刘侍刚，等.迭代张量高阶奇异值分解的图像恢复方法[J].计算机应用研究，2013，30（11）：3488?3492.
[3] CANDES E， TAO T. The power of convex relaxation： near?optimal matrix completion [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2009， 56（5）： 2053?2080.
[4] 彭亚丽，刘芳，焦李成，等.基于秩4约束的遮挡点恢复方法[J]. 机器人，2008，30（2）：138?141.
[5] 彭亚丽，刘芳，焦李成，等.正投影模型下基于1维子空间的遮挡点恢复方法[J].仪器仪表学报，2011，32（9）：2029?2033.
[6] 彭亚丽，刘侍刚，刘芳.基于秩1约束的三维重建方法[J].信号处理，2010，26（1）：28?31.
[7] TOMASI C， KANADE T. Shape and motion from image streams under orthography： a factorization method [J]. International Journal of Computer Vision [J]. 2010， 65（2）： 137?154.
[8] MA Y， HUANG K， VIDAL R. Rank conditions on the multiple?view matrix [J]. International Journal of Computer Vision， 2011， 66（2）： 115?137.
[9] 彭亚丽，刘芳.一种组织进化的遮挡点恢复算法[J].西安电子科技大学学报，2013，40（4）：1466?1469.
[10] 刘侍刚，吴清亮，彭亚丽，等.一种准线性集束调整方法[J].光电工程，2011，38（5）：103?107.
[11] 刘侍刚，彭亚丽，徐秋平，等.基于秩3约束的遮挡点恢复方法[J]. 仪器仪表学报，2008，29（12）：2622?2625.
[12] 刘侍刚，彭亚丽，韩崇昭，等.3维子空间约束的遮挡点恢复方法[J].西安交通大学学报，2009，43（4）：10?13.
[13] CAI J， CANDES E， SHEN Z. A singular value thresholding algorithm for matrix completion [J]. Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Optimization， 2010， 20（4）： 1956?1982.
[14] 周俊秀，裘国永，刘侍刚，等.迭代张量高阶奇异值分解的图像恢复方法[J].计算机应用研究，2013，30（11）：3488?3492.
[3] CANDES E， TAO T. The power of convex relaxation： near?optimal matrix completion [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2009， 56（5）： 2053?2080.
[4] 彭亚丽，刘芳，焦李成，等.基于秩4约束的遮挡点恢复方法[J]. 机器人，2008，30（2）：138?141.
[5] 彭亚丽，刘芳，焦李成，等.正投影模型下基于1维子空间的遮挡点恢复方法[J].仪器仪表学报，2011，32（9）：2029?2033.
[6] 彭亚丽，刘侍刚，刘芳.基于秩1约束的三维重建方法[J].信号处理，2010，26（1）：28?31.
[7] TOMASI C， KANADE T. Shape and motion from image streams under orthography： a factorization method [J]. International Journal of Computer Vision [J]. 2010， 65（2）： 137?154.
[8] MA Y， HUANG K， VIDAL R. Rank conditions on the multiple?view matrix [J]. International Journal of Computer Vision， 2011， 66（2）： 115?137.
[9] 彭亚丽，刘芳.一种组织进化的遮挡点恢复算法[J].西安电子科技大学学报，2013，40（4）：1466?1469.
[10] 刘侍刚，吴清亮，彭亚丽，等.一种准线性集束调整方法[J].光电工程，2011，38（5）：103?107.
[11] 刘侍刚，彭亚丽，徐秋平，等.基于秩3约束的遮挡点恢复方法[J]. 仪器仪表学报，2008，29（12）：2622?2625.
[12] 刘侍刚，彭亚丽，韩崇昭，等.3维子空间约束的遮挡点恢复方法[J].西安交通大学学报，2009，43（4）：10?13.
[13] CAI J， CANDES E， SHEN Z. A singular value thresholding algorithm for matrix completion [J]. Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Optimization， 2010， 20（4）： 1956?1982.
[14] 周俊秀，裘国永，刘侍刚，等.迭代张量高阶奇异值分解的图像恢复方法[J].计算机应用研究，2013，30（11）：3488?3492.
