刘良+李淑华
摘 要： 结合高频算法处理复杂目标雷达散射截面（RCS）的思路，提出了利用HFSS仿真软件得到的数据计算复杂目标RCS，给出了计算式，并运用Matlab验证计算公式的适用性。
关键词： 角反射器； 雷达散射截面； HFSS； Matlab
中图分类号： TN953?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）15?0012?03
High?and low?frequency hybrid method to estimate corner reflectors array′s RCS
LIU Liang1， 2， LI Shu?hua2
（1. Nanchang Hangkong University， Nanchang 330000， China； 2. Qingdao Branch of Naval Aeronautical Engineering Institute， Qingdao 266041， China）
Abstract： In combination with the idea of processing the complex target′s RCS by high?frequency method， a method to calculate complex target′s RCS according to the data got by HFSS simulation software is presented. The relevant formula for complex target′s RCS is given. The applicability of calculation formula was verified with Matlab software.
Keywords： corner reflector； RCS； HFSS； Matlab
0 引 言
雷达散射截面（RCS）的电磁散射计算方法可分为频域方法和时域方法。频域方法采用的大致可分为两类，即低频算法和高频算法。
低频算法主要包括矩量法（MoM）、有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）等。他们主要是根据电磁场问题的边界条件建立积分或微分方程，利用矩阵求解得出目标的远区场，该方法具有很高的计算精度。高频算法主要包括几何光学（GO）法、物理光学（PO）法、几何绕射理论（GDT）、物理绕射理论（PDT）等。它们的共同特点是认为散射体表面的每一部分基本上是独立地散射而与其他部分无关[1]。高频方法的优点是可以方便有效地对电大尺寸目标的散射特性进行分析，弥补了低频方法在计算效率上的不足。
腔体结构的远场散射是一个复杂的电磁场边界值理论问题。传统的电磁散射精确解法不仅对算法本身的效率要求苛刻，对计算机的配置要求也极高，低频的算法很难奏效。高频方法中，几何光学原理的计算因为占用内存多，计算时间长而使求解效率受到较大的限制，传统的物理光学法，也会遇到多次反射引起的多重嵌套积分计算问题而失效[2?5]。本文针对角反射器阵提出在频域方法中，利用低频算法（FEM）计算精度，计算每个角反射器每个视角处的RCS，结合高频算法在光学区时，复杂目标RCS可认为每个散射体独立地散射而与其他部分无关，对角反射器阵RCS进行预估。
1 有限元法简介
有限元法（FEM）思想最早在20世纪40年代由Courant提出，直到Silvster于1969年将有限元推广到时谐电磁场求解实际问题。有限元法在电磁散射中的应用很广。大到飞机、车辆，小到微带电路、填充波导都可以使用有限元法进行研究。
有限元法由里兹方法和伽辽金方法作为基础，基本理论依据是变分原理。求解步骤可归纳为[2?3，6?7]：
（1） 给出与待求解的边值问题相对应的泛函及其等价变分问题；
（2） 用有限元剖分求解区域，并选取相应的插值函数；
（3） 把变分问题转化为相应的多元函数极值问题，并导出离散化的矩阵方程；
（4） 求解该稀疏矩阵方程，得到问题的解。
有限元法具有在寻找使系统能量达到极值的场解或位解时，能够避免其他方法存在的数值色散问题；所得离散矩阵是稀疏矩阵，计算复杂度为[O（N）]等优点。同时，随着有限元法研究的日趋成熟，可方便地获得求解电磁场散射问题比较完善的有限元分析软件，如HFSS等。但是对于电大尺寸的腔体，由于有限元法采用四面体网格类型，所需的未知数与尺寸的三次方成正比，随着目标电尺寸的增大，所需的未知量会迅速增多；对于开域问题，仅利用有限元法离散所得的网格将具有无穷多个，这是有限元面临的主要问题之一。
HFSS（High Frequency Structure Simulator，高频结构仿真器）是一款利用Windows图形用户界面的高性能全波电磁模拟仿真软件，能对任意3D无源器件进行模拟仿真。该软件基于有限元法（FEM）方法，采用自适应网格剖分进行细化处理，易于学习，可视化，可立体建模，有仿真，能快速而准确地求解电磁场散射问题。针对有限元法开域问题，HFSS提供了完美匹配层（PML）和辐射两种边界条件对空间进行截断，作为远场区无限大空间。具体设计流程[8]如图1所示，这里不再赘述。
图1 HFSS设计流程图
2 角反射器几何特性
2.1 角反射器出射轨迹
入射光线在三面角反射器内经过3次反射，出射光线与入射光线平行，下面用光学分析法进行推导证明。光学分析法主要是根据物质对电磁辐射的发射、吸收以及与电磁辐射的相互作用来进行分析的一类方法。
如图2所示，点[A，][B，][C]的坐标分别为[a，0，0，][0，a，0，][0，0，a，]则三面角反射器底面[ABC]方程为[x+y+z=a；]设光线[DE，][EF，][FG，][GH]的单位矢量分别为[e1，][e2，][e3，][e4，][DE]为入射光线，[GH]为出射光线，[D，][H]点坐标位于面[ABC]上。
假设入射光线[DE]的单位矢量[e1=li+mj+nk，]根据光线的反射定律可知，反射光线的单位矢量[e2]为：
[e2=e1-2（e1?i）i=-li+mj+nk] （1）
同理，单位矢量[e3]为：
[e3=e2-2（e2?j）j=-li-mj+nk] （2）
则角反射器的出射光线的单位矢量：
[e4=e3-2（e3?k）k=-li-mj-nk] （3）
入射光线与出射光线进行点乘得：
[e1?e4=（li+mj+nk）（-li-mj-nk）=-（l2+m2+n2）=-1] （4）
证明了角反射器的入射光线和出射光线在空间上是反向平行的。
图2 角反射器几何特性
2.2 角反射器内部光线轨迹
入射光线经3次反射，得到出射光线与入射光线反向平行，角反射器的入射点[D]与出射点[H]关于[OI]对称，[I]为[DH]中点，下面用光学分析法进行推导证明。
如图2所示，设点[E]的坐标为[0，y1，z1，]由于[e1]过点[E，]且[l，][m，][m]为[e1]的方向数，所以[DE]直线方程为：
[xDl=yD-y1m=zD-z1n] （5）
结合角反射器底面[ABC]方程[x+y+z=a]得点[D]坐标为：
[（a-y1-z1）ll+m+n，y1+（a-y1-z1）ml+m+n，z1+（a-y1-z1）nl+m+n]
同理可得点[F]坐标为[ly1m，0，z1-nmy1，]点[G]坐标为[-lz1n，mnz1-y1，0，]点[H]坐标为[a+y1+z1ll+m+n，-y1+][a+y1+z1ml+m+n，-z1+a+y1+z1nl+m+n，]中点[I]点坐标为[all+m+n，aml+m+n，anl+m+n，]所以[OI]的矢量[e]为：
[e=al+m+n（li+mj+nk）] （6）
则入射光线[e1]以及出射光线[e4]平行于[OI]的矢量[e，]由于点[I]是[DH]的中点，所以入射点[D]和出射点[H]的关于[OI]对称。
2.3 角反射器内的等光程
一束平行光线入射到角反射器底面，只要满足光线经过三个反射面反射，则在角反射器内部反射的光程相等，并且等于2倍的[OI。]下面用光学分析法对其加以证明。
此前，已计算出[DH]中点[I]的坐标，所以：
[OI=al+m+n（li+mj+nk）=a3] （7）
光线在角反射器内各段的光程之和[S]为：
[S=DE+EF+FG+GH=2al+m+n=2a3] （8）
因此，光束在角反射器内部所走的光程相等，且为[2a3。]
3 角反射器阵RCS计算方法
建立角反射器阵模型如图3所示。
图3 宽角反射器模型
角反射器具体参数为：角反射器1尺寸为50 cm，角反射器2和角反射器3尺寸均为20 cm，且角反射器1和角反射器2、角反射器3之间的夹角均为70°，同时每个角反射器下倾30°。
计算频率设置为1 GHz，此时角反射器阵模型处于光学区，根据高频计算的条件，当目标处于光学区时，此时积累的相互作用会很小，以至于目标可以作为若干个独立散射中心集合来处理。若目标由[N]个散射中心构成，雷达散射截面由[N]个散射中心散射回波的相干叠加[9?10]，则总的雷达散射截面满足式（9），其中[σj]是每个角反射器单独作用下某一视角处的散射截面，[f]表示雷达波频率，[c]表示光速，[rj]表示每个角反射器与雷达间的距离，[λ]为雷达波频率对应的波长。[σall=j=1Nσjexp-j2πcfrj=j=1Nσjexp-j2πλrj] （9）
目标在远场区雷达散射截面还与雷达的入射波方向有关，因此，式中的[σall]并不是角反射器阵在整个空间的RCS值，它对应于[σj]所对应的某一视角处的RCS。为了计算雷达波某一视角处的RCS，利用HFSS仿真软件分别对模型在[φ=6°]和[φ=30°]时，[θ]从30°～120°间隔1°变化的RCS进行计算，得到结果如图4中实线所示。
为了验证公式的正确性，在确保每个角反射器的相对位置不会发生变化的基础上，需要计算出在[φ=6°]和[φ=30°]时，每个角反射器的[θ]从30°～120°间隔1°变化的RCS，借助HFSS利用FEM方法得到每个角反射器某一视角处的较为精确的数据，代入到式（9）中，通过Matlab软件数据处理功能，得到结果如图4中虚线所示。可见计算结果基本吻合，将角反射器阵通过高频算法的思想求得RCS的方法是合理的。
图4 角反射器阵RCS结果比较
4 结 语
本文从低频算法（FEM）的精度出发，借助高频算法在光学区处理复杂目标RCS的思想，给出了角反射器阵在光学区的RCS计算公式，通过与HFSS仿真结果比对，基本吻合。此种方法综合了低频算法的计算精度和高频算法的计算效率，但是公式具有一定的参考性，有以下几方面原因：无论低频算法还是高频算法，算法的前提条件不同，但结果均为近似值；给出的计算公式，完全忽略多目标之间的相干作用，做了理想化处理；由于没有权威的数据参考，公式与HFSS仿真结果比较，假设HFSS仿真结果是正确的。
参考文献
[1] 杨端义.复杂目标雷达散射截面的分析方法[D].南京：南京理工大学，2009.
[2] 王浩刚.电大尺寸含腔体复杂目标矢量电磁散射一体化精确建模与高效算法研究[D].成都：电子科技大学，2001.
[3] 张炜.开口腔体散射算法研究[D].西安：西安电子科技大学，2006.
[4] 罗威.三维电大复杂腔体电磁散射问题的混合快速算法研究[D].成都：电子科技大学，2007.
[5] 张浩斌.腔体电磁散射的混合算法研究[D].西安：西北工业大学，2003.
[6] 平学伟.有限元模拟及有限元方程的快速解技术在电磁场中的应用[D].南京：南京理工大学，2004.
[7] 范宇.复合结构飞行器翼面RCS的数值计算[D].成都：电子科技大学，2004.
[8] 李明洋，刘敏.HFSS电磁仿真设计从入门到精通[M].北京：人民邮电出版社，2013.
[9] 王雪松，肖顺平，冯德军，等.现代雷达电子战系统建模与仿真[M].北京：电子工业出版社，2010.
[10] MAHAFZA B R， ELSHERBENI A Z.雷达系统设计Matlab仿真[M].朱国富，黄晓涛，黎向阳，等译.北京：电子工业出版社，2012.
如图2所示，点[A，][B，][C]的坐标分别为[a，0，0，][0，a，0，][0，0，a，]则三面角反射器底面[ABC]方程为[x+y+z=a；]设光线[DE，][EF，][FG，][GH]的单位矢量分别为[e1，][e2，][e3，][e4，][DE]为入射光线，[GH]为出射光线，[D，][H]点坐标位于面[ABC]上。
假设入射光线[DE]的单位矢量[e1=li+mj+nk，]根据光线的反射定律可知，反射光线的单位矢量[e2]为：
[e2=e1-2（e1?i）i=-li+mj+nk] （1）
同理，单位矢量[e3]为：
[e3=e2-2（e2?j）j=-li-mj+nk] （2）
则角反射器的出射光线的单位矢量：
[e4=e3-2（e3?k）k=-li-mj-nk] （3）
入射光线与出射光线进行点乘得：
[e1?e4=（li+mj+nk）（-li-mj-nk）=-（l2+m2+n2）=-1] （4）
证明了角反射器的入射光线和出射光线在空间上是反向平行的。
图2 角反射器几何特性
2.2 角反射器内部光线轨迹
入射光线经3次反射，得到出射光线与入射光线反向平行，角反射器的入射点[D]与出射点[H]关于[OI]对称，[I]为[DH]中点，下面用光学分析法进行推导证明。
如图2所示，设点[E]的坐标为[0，y1，z1，]由于[e1]过点[E，]且[l，][m，][m]为[e1]的方向数，所以[DE]直线方程为：
[xDl=yD-y1m=zD-z1n] （5）
结合角反射器底面[ABC]方程[x+y+z=a]得点[D]坐标为：
[（a-y1-z1）ll+m+n，y1+（a-y1-z1）ml+m+n，z1+（a-y1-z1）nl+m+n]
同理可得点[F]坐标为[ly1m，0，z1-nmy1，]点[G]坐标为[-lz1n，mnz1-y1，0，]点[H]坐标为[a+y1+z1ll+m+n，-y1+][a+y1+z1ml+m+n，-z1+a+y1+z1nl+m+n，]中点[I]点坐标为[all+m+n，aml+m+n，anl+m+n，]所以[OI]的矢量[e]为：
[e=al+m+n（li+mj+nk）] （6）
则入射光线[e1]以及出射光线[e4]平行于[OI]的矢量[e，]由于点[I]是[DH]的中点，所以入射点[D]和出射点[H]的关于[OI]对称。
2.3 角反射器内的等光程
一束平行光线入射到角反射器底面，只要满足光线经过三个反射面反射，则在角反射器内部反射的光程相等，并且等于2倍的[OI。]下面用光学分析法对其加以证明。
此前，已计算出[DH]中点[I]的坐标，所以：
[OI=al+m+n（li+mj+nk）=a3] （7）
光线在角反射器内各段的光程之和[S]为：
[S=DE+EF+FG+GH=2al+m+n=2a3] （8）
因此，光束在角反射器内部所走的光程相等，且为[2a3。]
3 角反射器阵RCS计算方法
建立角反射器阵模型如图3所示。
图3 宽角反射器模型
角反射器具体参数为：角反射器1尺寸为50 cm，角反射器2和角反射器3尺寸均为20 cm，且角反射器1和角反射器2、角反射器3之间的夹角均为70°，同时每个角反射器下倾30°。
计算频率设置为1 GHz，此时角反射器阵模型处于光学区，根据高频计算的条件，当目标处于光学区时，此时积累的相互作用会很小，以至于目标可以作为若干个独立散射中心集合来处理。若目标由[N]个散射中心构成，雷达散射截面由[N]个散射中心散射回波的相干叠加[9?10]，则总的雷达散射截面满足式（9），其中[σj]是每个角反射器单独作用下某一视角处的散射截面，[f]表示雷达波频率，[c]表示光速，[rj]表示每个角反射器与雷达间的距离，[λ]为雷达波频率对应的波长。[σall=j=1Nσjexp-j2πcfrj=j=1Nσjexp-j2πλrj] （9）
目标在远场区雷达散射截面还与雷达的入射波方向有关，因此，式中的[σall]并不是角反射器阵在整个空间的RCS值，它对应于[σj]所对应的某一视角处的RCS。为了计算雷达波某一视角处的RCS，利用HFSS仿真软件分别对模型在[φ=6°]和[φ=30°]时，[θ]从30°～120°间隔1°变化的RCS进行计算，得到结果如图4中实线所示。
为了验证公式的正确性，在确保每个角反射器的相对位置不会发生变化的基础上，需要计算出在[φ=6°]和[φ=30°]时，每个角反射器的[θ]从30°～120°间隔1°变化的RCS，借助HFSS利用FEM方法得到每个角反射器某一视角处的较为精确的数据，代入到式（9）中，通过Matlab软件数据处理功能，得到结果如图4中虚线所示。可见计算结果基本吻合，将角反射器阵通过高频算法的思想求得RCS的方法是合理的。
图4 角反射器阵RCS结果比较
4 结 语
本文从低频算法（FEM）的精度出发，借助高频算法在光学区处理复杂目标RCS的思想，给出了角反射器阵在光学区的RCS计算公式，通过与HFSS仿真结果比对，基本吻合。此种方法综合了低频算法的计算精度和高频算法的计算效率，但是公式具有一定的参考性，有以下几方面原因：无论低频算法还是高频算法，算法的前提条件不同，但结果均为近似值；给出的计算公式，完全忽略多目标之间的相干作用，做了理想化处理；由于没有权威的数据参考，公式与HFSS仿真结果比较，假设HFSS仿真结果是正确的。
参考文献
[1] 杨端义.复杂目标雷达散射截面的分析方法[D].南京：南京理工大学，2009.
[2] 王浩刚.电大尺寸含腔体复杂目标矢量电磁散射一体化精确建模与高效算法研究[D].成都：电子科技大学，2001.
[3] 张炜.开口腔体散射算法研究[D].西安：西安电子科技大学，2006.
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[5] 张浩斌.腔体电磁散射的混合算法研究[D].西安：西北工业大学，2003.
[6] 平学伟.有限元模拟及有限元方程的快速解技术在电磁场中的应用[D].南京：南京理工大学，2004.
[7] 范宇.复合结构飞行器翼面RCS的数值计算[D].成都：电子科技大学，2004.
[8] 李明洋，刘敏.HFSS电磁仿真设计从入门到精通[M].北京：人民邮电出版社，2013.
[9] 王雪松，肖顺平，冯德军，等.现代雷达电子战系统建模与仿真[M].北京：电子工业出版社，2010.
[10] MAHAFZA B R， ELSHERBENI A Z.雷达系统设计Matlab仿真[M].朱国富，黄晓涛，黎向阳，等译.北京：电子工业出版社，2012.
如图2所示，点[A，][B，][C]的坐标分别为[a，0，0，][0，a，0，][0，0，a，]则三面角反射器底面[ABC]方程为[x+y+z=a；]设光线[DE，][EF，][FG，][GH]的单位矢量分别为[e1，][e2，][e3，][e4，][DE]为入射光线，[GH]为出射光线，[D，][H]点坐标位于面[ABC]上。
假设入射光线[DE]的单位矢量[e1=li+mj+nk，]根据光线的反射定律可知，反射光线的单位矢量[e2]为：
[e2=e1-2（e1?i）i=-li+mj+nk] （1）
同理，单位矢量[e3]为：
[e3=e2-2（e2?j）j=-li-mj+nk] （2）
则角反射器的出射光线的单位矢量：
[e4=e3-2（e3?k）k=-li-mj-nk] （3）
入射光线与出射光线进行点乘得：
[e1?e4=（li+mj+nk）（-li-mj-nk）=-（l2+m2+n2）=-1] （4）
证明了角反射器的入射光线和出射光线在空间上是反向平行的。
图2 角反射器几何特性
2.2 角反射器内部光线轨迹
入射光线经3次反射，得到出射光线与入射光线反向平行，角反射器的入射点[D]与出射点[H]关于[OI]对称，[I]为[DH]中点，下面用光学分析法进行推导证明。
如图2所示，设点[E]的坐标为[0，y1，z1，]由于[e1]过点[E，]且[l，][m，][m]为[e1]的方向数，所以[DE]直线方程为：
[xDl=yD-y1m=zD-z1n] （5）
结合角反射器底面[ABC]方程[x+y+z=a]得点[D]坐标为：
[（a-y1-z1）ll+m+n，y1+（a-y1-z1）ml+m+n，z1+（a-y1-z1）nl+m+n]
同理可得点[F]坐标为[ly1m，0，z1-nmy1，]点[G]坐标为[-lz1n，mnz1-y1，0，]点[H]坐标为[a+y1+z1ll+m+n，-y1+][a+y1+z1ml+m+n，-z1+a+y1+z1nl+m+n，]中点[I]点坐标为[all+m+n，aml+m+n，anl+m+n，]所以[OI]的矢量[e]为：
[e=al+m+n（li+mj+nk）] （6）
则入射光线[e1]以及出射光线[e4]平行于[OI]的矢量[e，]由于点[I]是[DH]的中点，所以入射点[D]和出射点[H]的关于[OI]对称。
2.3 角反射器内的等光程
一束平行光线入射到角反射器底面，只要满足光线经过三个反射面反射，则在角反射器内部反射的光程相等，并且等于2倍的[OI。]下面用光学分析法对其加以证明。
此前，已计算出[DH]中点[I]的坐标，所以：
[OI=al+m+n（li+mj+nk）=a3] （7）
光线在角反射器内各段的光程之和[S]为：
[S=DE+EF+FG+GH=2al+m+n=2a3] （8）
因此，光束在角反射器内部所走的光程相等，且为[2a3。]
3 角反射器阵RCS计算方法
建立角反射器阵模型如图3所示。
图3 宽角反射器模型
角反射器具体参数为：角反射器1尺寸为50 cm，角反射器2和角反射器3尺寸均为20 cm，且角反射器1和角反射器2、角反射器3之间的夹角均为70°，同时每个角反射器下倾30°。
计算频率设置为1 GHz，此时角反射器阵模型处于光学区，根据高频计算的条件，当目标处于光学区时，此时积累的相互作用会很小，以至于目标可以作为若干个独立散射中心集合来处理。若目标由[N]个散射中心构成，雷达散射截面由[N]个散射中心散射回波的相干叠加[9?10]，则总的雷达散射截面满足式（9），其中[σj]是每个角反射器单独作用下某一视角处的散射截面，[f]表示雷达波频率，[c]表示光速，[rj]表示每个角反射器与雷达间的距离，[λ]为雷达波频率对应的波长。[σall=j=1Nσjexp-j2πcfrj=j=1Nσjexp-j2πλrj] （9）
目标在远场区雷达散射截面还与雷达的入射波方向有关，因此，式中的[σall]并不是角反射器阵在整个空间的RCS值，它对应于[σj]所对应的某一视角处的RCS。为了计算雷达波某一视角处的RCS，利用HFSS仿真软件分别对模型在[φ=6°]和[φ=30°]时，[θ]从30°～120°间隔1°变化的RCS进行计算，得到结果如图4中实线所示。
为了验证公式的正确性，在确保每个角反射器的相对位置不会发生变化的基础上，需要计算出在[φ=6°]和[φ=30°]时，每个角反射器的[θ]从30°～120°间隔1°变化的RCS，借助HFSS利用FEM方法得到每个角反射器某一视角处的较为精确的数据，代入到式（9）中，通过Matlab软件数据处理功能，得到结果如图4中虚线所示。可见计算结果基本吻合，将角反射器阵通过高频算法的思想求得RCS的方法是合理的。
图4 角反射器阵RCS结果比较
4 结 语
本文从低频算法（FEM）的精度出发，借助高频算法在光学区处理复杂目标RCS的思想，给出了角反射器阵在光学区的RCS计算公式，通过与HFSS仿真结果比对，基本吻合。此种方法综合了低频算法的计算精度和高频算法的计算效率，但是公式具有一定的参考性，有以下几方面原因：无论低频算法还是高频算法，算法的前提条件不同，但结果均为近似值；给出的计算公式，完全忽略多目标之间的相干作用，做了理想化处理；由于没有权威的数据参考，公式与HFSS仿真结果比较，假设HFSS仿真结果是正确的。
参考文献
[1] 杨端义.复杂目标雷达散射截面的分析方法[D].南京：南京理工大学，2009.
[2] 王浩刚.电大尺寸含腔体复杂目标矢量电磁散射一体化精确建模与高效算法研究[D].成都：电子科技大学，2001.
[3] 张炜.开口腔体散射算法研究[D].西安：西安电子科技大学，2006.
[4] 罗威.三维电大复杂腔体电磁散射问题的混合快速算法研究[D].成都：电子科技大学，2007.
[5] 张浩斌.腔体电磁散射的混合算法研究[D].西安：西北工业大学，2003.
[6] 平学伟.有限元模拟及有限元方程的快速解技术在电磁场中的应用[D].南京：南京理工大学，2004.
[7] 范宇.复合结构飞行器翼面RCS的数值计算[D].成都：电子科技大学，2004.
[8] 李明洋，刘敏.HFSS电磁仿真设计从入门到精通[M].北京：人民邮电出版社，2013.
[9] 王雪松，肖顺平，冯德军，等.现代雷达电子战系统建模与仿真[M].北京：电子工业出版社，2010.
[10] MAHAFZA B R， ELSHERBENI A Z.雷达系统设计Matlab仿真[M].朱国富，黄晓涛，黎向阳，等译.北京：电子工业出版社，2012.
