万伟程+李艳华+周三文
摘 要： 数字通信系统中，为适应传输、降低资源消耗、适于处理操作，常需要变换信号的采样率。多采样率信号处理理论从语音信号处理中发展起来，在应用中不断丰富。随着软件无线电的应用，多采样率变换在数字信号领域占据越来越重要的地位。多采样率信号处理技术与小波分析、分数阶傅里叶变换等其他信号处理技术相结合是未来发展的方向。
关键词： 多采样率； 信号处理； 数字滤波器； 傅里叶变换
中图分类号： TN911.72?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）13?0057?03
Development of signal processing at multi?sampling rates
WAN Wei?cheng， LI Yan?hua， ZHOU San?wen
（Beijing Research Institute of Telemetry， Beijing 100076， China）
Abstract： The sampling rate of signal often needs to be changed for fitting transmission， reducing resource consumption and suiting process handling in digital communication system. Multirate signal processing theory arose from speech signal processing and was enriched in application. Multirate signal processing plays an important role in digital signal processing with the application of software radio. It′s a tendency of combining the multirate signal processing with wavelet analysis and fractional Fourier transform.
Keywords： multirate sample； signal processing； digital filter； Fourier transform
0 引 言
20世纪60年代以来，数字信号由于处理灵活、精度高、稳定性好等优点得到广泛应用[1]。数字信号由模拟信号采样而来，其过采样率越高其信噪比越大，但传输量、资源消耗以及运算量也增加。为减少开销、节约存储传输等资源，要尽可能以低采样率表示信号而不损失信息，这需要使用多采样率处理技术改变信号采样率。
采样率变换有两种方式[2]：一是将数字信号重构为模拟信号再重采样；二是用数字方法直接进行采样率变换。数字采样率变换简洁、灵活并可减少硬件使用。采样率变换分为内插和抽取：内插和抽取分别会引入镜像干扰和频谱混叠，需要使用变采样滤波器来提高处理性能。
常用的变采样滤波器有[3]：多速率FIR滤波器、CIC滤波器、半带滤波器。FIR滤波器的多相结构可以减少计算量。CIC滤波器和半带滤波器由于结构简单、计算消耗少等优点而被广泛应用。
1 基础理论
1.1 多采样率发展
1977年，Esteban和Galand研究语音压缩时设计了双通道正交镜像滤波器组，这是多采样率信号处理的突破性成就。数字信号的分解/综合会导致幅度及相位误差，需对其进行改进。
20世纪80年代起，多采样率信号处理理论得到广泛的应用。1981年，Crochiere和Rabiner的文章[4]：讲述多采样率基本理论、滤波器多相结构、变采样滤波器设计原则和多采样率处理的分级结构等。1983年，两人的《Multirate Digital Signal Processing》出版标志多采样率基础理论已经成熟。Vaidyanatha对多采样率信号处理发展做出极大地贡献[5]，其文献[6]阐述变采样率QMF滤波器组的设计及应用，首先研究完全重建非均匀滤波器组，给出了消除混叠分量的条件。
几十年来，多采样率信号处理理论得到广泛应用：如通信系统、语音图像的压缩、频谱分析、雷达及天线系统、子带编码、自适应信号处理等。
1.2 内插和抽取
[x（n）]内插[L]倍后序列[xL（n）]的频谱是原频谱的[L]倍压缩，周期变为原频谱的[1L。]内插后信号频域上会产生镜像，须用低通滤波器[h（n）]来滤除内插镜像。
[M]倍抽取后信号频谱是原频谱频域上扩展[M]倍，以[2π/M]为周期进行延拓。为防止频域扩展后的混叠，抽取前要把信号带宽限制在[[-πM，πM]]之内。
抽取和内插结构具有对偶性。采样率变换设计的关键是抗混叠和镜像抑制滤波器，多采样率理论的研究主要集中于高效变采样滤波器。
1.3 Noble恒等式
Noble恒等变换是指在信号处理的过程中既有线性系统又有抽取（内插）器时，可重新排列各部分的处理顺序以提高计算效率，且结构改变时系统的总体功能不变。利用该恒等式变换可以先抽取再进行线性滤波，滤波器长度可降为原来的[1M，]且把乘法放在低采样率端以降低功耗，这有利于节约资源，提高效率。
2 多采样率滤波器
2.1 整数倍多采样滤波器
为了节约资源、提高效率，高效低运算量的滤波器成为多采样率理论的研究目标。
2.1.1 CIC滤波器
1981年，Hogenauer提出一种无乘法的整数倍变采样率滤波器——Hogenauer CIC滤波器[7]。CIC滤波器只需将相邻的[M]个数据相加，实现简单。[h（n）]的[z]变换为[Hz =（1（1-z-1））? （1-z-M）=H1（z）?H2（z）。]其频率响应为：
[Hejω=M?SaωM2 ?Sa-1ω2 ] （1）
其最小旁瓣衰减[αS≈13.46 ]dB，CIC滤波器多级级联可增加阻带衰减：[αQS=Q×13.46 ]dB。CIC滤波器[Q]级级联处理增益较大。CIC滤波器通带衰减过快，人们提出了很多解决方案改进CIC的缺陷[8]。
CIC滤波器用于采样率变换时，[H1z]在高数据速率端，[H2z]位于低数据速率端，采样率变换器位于中间。
2.1.2 半带滤波器
半带滤波器（HBF）适于[M=2N]倍采样率变换。其频率响应的阻带带宽等于通带带宽，且通带波纹等于阻带波纹。其冲击响应[h（n）]除[n=0]的其余偶数点全为零，系数的对称性使得乘法次数减少近3/4。
2.1.3 多相滤波器
多相滤波结构可以有效地降低计算量、提高处理效率。多相分解是指将数字滤波器[Hz=n=0N-1hn?z-n]分解成若干个不同相位的分组。设[M]为[N]的因子的整数倍，[D=NM，]则[Hz]可分解为：[Hz =n=0D-1h（nM）（zM）-n+z-1n=0D-1h（nM+1）（zM）-n+…+ z-（M-1） n=0D-1h（nM+M-1）（zM）-n]（2）
多相结构的滤波在抽取后进行可降低对处理速度的要求，滤波器每分支的系数减少至[NM]个，减少滤波运算的误差累积。
2.1.4 多采样级联
多采样率信号处理分级级联后可降低每级滤波器设计复杂度和运算量。多级级联有两种方法：一是以乘法次数或存储量为准则选择最佳的级数和各级变换因子；二是用CIC滤波器、半带滤波器等简单滤波器级联。
M W Coffey给出多级级联通用性的判别条件，设过渡带[Δf=（fs2-fp）（fs2），]其中[fs]为输出采样率，[fp]为通带截止频率，[α=（2-Δf）2M：]
[T（M，Δf，K）=2ΔfMj=1K-1Mj+i=1K-1M1-αj=1iMj] （3）
式中：[K]为级联数，[M=i=1KMi，]使式（3）的值最小化可得到最优的多级级联方案[9]。
2.2 任意因子多采样滤波器
应用中常会遇到非整数倍采样率变换，为了使得多采样率信号处理性能较高，常使用数字重构技术。
2.2.1 信号重构
信号[y（t）]可通过满足奈奎斯特速率的采样序列[y（nTi）]完全无失真重构，对重构信号[yt]重采样可以得到变采样信号[y（mTo）=yt?δ（t-mTo）。]在输出时刻[mTo=kTi+μkTi，]重采样信号为：
[y（mTo）=ykTi+μkTi=n=-∞∞y（nTi）?sin[πTikTi+μkTi-nTi]πTikTi+μkTi-nTi] （4）
式中：[μk∈[0，1）]是输出采样位置基于输入时刻的归一化偏移量。基于式（4）可设计任意变采样率模块，但需存储大量的系数，为减少存储量可用多项式近似重构滤波器系数。
2.2.2 多项式插值
重构滤波器系数可由[N]点拉格朗日多项式逼近[Pm（μ）=i=0N-1ciμi，][μ]为归一化偏移量，阶数[N]根据系统性能需求确定。
（1） Farrow结构
Farrow基于拉格朗日插值，提出一种易实现的变延迟系数多采样滤波器嵌套结构[10]：[Pm（μ）=cm（0）+] [μ（cm（1）+μ（cm（2）+μcm（3）））]，则滤波输出为：
[y（k+μ） =i=03μlm=03cm（i）?x（k-m）] （5）
该结构只需存储较少的系数且不计算幂值，调整[μ]便可近似重构滤波器系数。
（2） B样条插值
拉格朗日逼近在边界波动较大。B样条函数逼近会更光滑。[N]次对称B样条[11]：
[βN（t）=1N！k=0N+1（-1）kN+1kt-k+N+12N+] （6）
B样条插值长度有限，B样条所有线段为[N]次且[N]次可微，其所有项的[N]次计算较拉格朗日内插算法复杂、计算量较高。常用的数字信号处理使用3次B样条。
3 多采样率应用
多采样率技术在现代通信中有着各种形式的广泛应用：如A/D变换、数字通信、音视频信号处理、雷达信号处理等。
3.1 A/D中的应用
高速ADC中广泛使用多采样率处理技术[12]。Σ?Δ型ADC对信号高速采样，用相邻采样值间的差值表示信号。高倍过采样使信号噪声扩展到很宽的频带，通过多采样滤波器降低采样率并滤除带外噪声从而提高系统信噪比。
时间交织型ADC用多路低速ADC并行对信号等间隔交替采样实现高速模数转换。各ADC的时间不能精确匹配会影响采样精度。A/D前用多通道QMF将信号分为几个子带，每个子带的采样误差互不干扰，在数字域信号综合并重采样消除子带间的不匹配。多采样率信号处理可弥补现有ADC性能不足。
3.2 数字通信中的应用
多采样率信号处理广泛应用于通信系统中：内插滤波器、定时同步等[13]。D/A前需要对信号提高采样率；解调端的ADC对模拟信号高速采样，其过采样倍数很大，需降低采样率以节约系统开销。
现代定时恢复在数字域进行，计算匹配滤波后数据的定时误差控制重采样滤波器计算最佳采样点，其精度高、实现简单，已在现代数字接收机中广泛应用。
分解/综合滤波器组可实现TDMA，CDMA以及FDMA。正交频分复用（OFDM）、离散多频调制（DMT）等都可用[M]通道滤波器组实现。
3.3 音视频中的应用
滤波器组理论也用于音视频的压缩、编码及识别。QMF最初用于语音压缩[14]，后逐渐用于图像、视频压缩。多通道滤波器组对子带按信息量编码，舍弃无信息的子带对信息压缩。通过内插和各子带叠加可无失真重建信号。多维多采样率信号处理可直接处理图像、视频等多维信号。
3.4 分数阶傅里叶变换的应用
近年来，分数阶傅里叶变换（FrFT）作为一种新的时频分析工具而兴起，它是传统傅里叶变换的一般形式。传统傅里叶变换是[α=π2]的FrFT域，很多信号在此域上并不是带限，但在其他[α] FrFT域上却是带限的，这类信号的分析需要在FrFT域进行。信号[x（t）]角度为[α]的离散时间分数阶傅里叶变换为[15]：
[Xα（u）=1-jcosα2π?-∞+∞x（n）?ej12（n2+u2）cotα-juncscα] （7）
FrFT域中，周期[Δup=2πsinαΔt，][Δt]为时域采样周期；[α=pπ2]则称[p]阶FrFT；[ω=u?Δt]为数字频率。根据式（4），FrFT的信号重构公式为：
[xr（t）=e-jt22cotαn=-∞∞e-j（nTs）22cotαx（nTs）? Ts[sin（Ωα（t-nTs）cscα）]πt-nTs] （8）
FrFT可处理传统傅里叶域无法处理的时变信号以及随机非平稳信号等，具有广泛的应用价值。
4 结 语
随着通信需求的增加，信号的传输速度也越来越高，多采样率理论变得越来越重要且得到了极大的发展。多速率信号处理的应用会节约资源、减少工程代价。多速率信号处理与其他理论相结合将是未来发展的方向，例如：多采样率理论与小波变换相结合从细节上分析信号频谱；多采样率信号处理理论用于扩频信号或者盲信号处理中以降低复杂度。总之，多采样率信号处理理论将随着通信技术的发展而成长。
参考文献
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[Xα（u）=1-jcosα2π?-∞+∞x（n）?ej12（n2+u2）cotα-juncscα] （7）
FrFT域中，周期[Δup=2πsinαΔt，][Δt]为时域采样周期；[α=pπ2]则称[p]阶FrFT；[ω=u?Δt]为数字频率。根据式（4），FrFT的信号重构公式为：
[xr（t）=e-jt22cotαn=-∞∞e-j（nTs）22cotαx（nTs）? Ts[sin（Ωα（t-nTs）cscα）]πt-nTs] （8）
FrFT可处理传统傅里叶域无法处理的时变信号以及随机非平稳信号等，具有广泛的应用价值。
4 结 语
随着通信需求的增加，信号的传输速度也越来越高，多采样率理论变得越来越重要且得到了极大的发展。多速率信号处理的应用会节约资源、减少工程代价。多速率信号处理与其他理论相结合将是未来发展的方向，例如：多采样率理论与小波变换相结合从细节上分析信号频谱；多采样率信号处理理论用于扩频信号或者盲信号处理中以降低复杂度。总之，多采样率信号处理理论将随着通信技术的发展而成长。
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FrFT域中，周期[Δup=2πsinαΔt，][Δt]为时域采样周期；[α=pπ2]则称[p]阶FrFT；[ω=u?Δt]为数字频率。根据式（4），FrFT的信号重构公式为：
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