验箱 周期状态 混沌状态 二阶网络状态轨迹 非线性系统的浑沌现象 ...

孙红霞

摘 要： 二阶网络暂态过程有几种情况，理论计算复杂，课堂上难以直观展现。在此以RLC串联电路的零输入响应为例，提出了用Multisim8软件研究二阶网络的暂态过程及状态轨迹的方法。在过阻尼、临界阻尼以及欠阻尼3种情况下，利用Multisim8软件的虚拟仪器对RLC串联电路的电容电压、电感电流的暂态过程及对应的网络状态轨迹进行仿真和展示。结果表明，Multisim8软件可以形象直观、快速准确地实现二阶网络的动态分析，用其仿真是一种很好的辅助教学手段。

关键词： Multisim8； 二阶网络； 暂态过程； 状态轨迹

中图分类号： TN964?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）06?0117?05

电路分析是电子信息类专业的专业基础课，该课程既包括抽象的理论分析又涉及实际应用[1]。理论课程教学的效果，直接影响到学生对基本概念和基本规律的理解。进而影响后续的实验课、专业课的学习。因此，加深对电路分析中基本概念、基本规律的理解，对于学生分析和解决问题的能力乃至动手能力都有着重要的意义。如果在电路分析理论课上穿插运用Multisim8软件实现的仿真实验，让学生能在课堂上形象、直观地看到抽象的理论分析所对应的具体现象。与传统授课方式相比，会有效地降低学习难度，还可以激发学生学习兴趣，达到事半功倍的教学效果。也为后续课程打好基础。

1 Multisim8软件简介

Multisim8软件是加拿大IIT公司在早期版本的基础上推出的一个电子电路设计、电路功能仿真的虚拟软件。它打破了传统电子产品设计受实验室条件限制的局限性，用虚拟的仪器仪表完成各种参数的测试，利用它可以仿真整个实验过程，其软件界面直观，操作方便，仿真速度快。

该软件在计算机屏幕上模拟实验室的工作台，在屏幕上选取所需元件，绘制电路图，连接测试仪器，操作方法简单易学。

适合电路基础、模拟电子技术、数字电子技术、继电逻辑和PLC控制电路的仿真与设计，尤其适合复杂电路系统的设计与分析[2]。可以完成电路的瞬态和稳态分析，器件的线性和非线性分析，失真分析等[3]。

2 二阶网络暂态过程及状态轨迹的理论分析

2.1 二阶网络暂态过程的理论分析

以RLC串联电路零输入响应为例分析二阶网络暂态过程。

RLC串联电路如图1所示，根据电路列出基尔霍夫电压方程为：

当电路元件参数R，L，C的量值各不相同时，特征根可能出现以下3种情况：

（1） R>2[LC]时，s1，s2为两个不相等的实数根；

（2） R=2[LC]时，s1，s2为两个相等的实数根；

（3） R<2[LC]时，s1，s2为共轭复根。

当两个特征根为不相等的实数根时，电路是过阻尼；当两个特征根为相等的实数根时，电路是临界阻尼；当两个特征根为共轭复根时，电路是欠阻尼。

（1） 过阻尼情况。当R>2[LC]时，式（4）的解为：

即响应为两个衰减的指数项之和。K1，K2为由初始条件uC（0），iL（0）确定的常数，当t=0，由式（7）有：

式（8），（9）联立求得K1、K2，代入式（7）得到电容电压的零输入响应uC（t）为非振荡性衰减的，再由iL（t）=C[duCdt]求得电感电流的零输入响应iL（t） 也为非振荡性衰减的。

（2） 临界阻尼情况。当R=2[LC]时，s1=s2=s=-[R2L]。方程（4）的解为：

[uCt=K1+K2test] （10）

K1，K2为由初始条件uC（0），iL（0）确定的常数，当t=0时，由（10）有：

式（11），（12）联立求得K1、K2，代入式（10）得到电容电压的零输入响应uC（t）为非振荡性衰减的，再由iL（t）=C[duCdt]求得电感电流的零输入响应iL（t） 也为非振荡性衰减的。

（3） 欠阻尼情况。当R<2[LC]时，

式中：α=[R2L]为衰减系数；ω0=[1LC]为谐振角频率；ωd=[ω20-α2]为衰减谐振角频率。

方程（4）的解为如下形式：

K1，K2为由初始条件uC（0），iL（0）确定的常数。代入式（13）得到电容电压的零输入响应uC（t）为振幅随时间衰减的正弦振荡，再由iL（t）=C[duCdt]求得电感电流的零输入响应iL（t） 也为振幅随时间衰减的正弦振荡。

（4） 无阻尼情况。当R=0时，α=0，ω=ω0=[1LC]。uC（t） 和iL（t）都成为振幅无衰减的正弦振荡。

2.2 二阶网络状态轨迹的理论分析

状态变量是能描述系统状态的那些变量。

在直流电路的分析中，把电流和电压作为电路的基本变量。如果一个电路的各个电流和电压都已掌握，那么这个电路的性能便完全确定，不需涉及电路内部情况。但动态网络中，电感和电容都是储能元件，在分析动态电路时，除了要给出电路的结构、参数和激励，还必须给出初始时刻的储能情况，否则不能求出解答。由于某一时刻的电容储能[12Cu2C]与该时刻的电容电压有关，电感储能[12Li2L]与该时刻的电感电流有关，因此，电路的储能状况可以用电容电压和电感电流来描述。对RLC二阶网络来说，如果知道初始时刻t0的uC（0），iL（0）以及以后的激励，t>t0时电路的响应uC（t），iL（t）以及其他电压和电流均可确定。uC（t）和iL（t）可作为电路的状态变量。初始时刻t0的uC（0），iL（0）即为电路的初始状态，反映了电路的初始时刻储能情况。了解了电路中uC（t）及iL（t）的变化就可以了解电路状态的变化[4]。

对n阶网络应该用n个状态变量来描述其状态。可以设想一个n维空间，每一维表示一个状态变量，构成一个“状态空间”。网络在每一时刻所处的状态可以用状态空间中一个点来表示，随着时间变化，点的移动形成一个轨迹，称为“状态轨迹”。电路参数不同，则状态轨迹也不相同。对三阶网络状态空间可用一个三维空间来表达，而二阶网络的状态可以用一个平面来表达[5]，则二阶网络的状态轨迹是平面曲线。

3 RLC二阶网络暂态过程及状态轨迹仿真分析

从元件库中选取方波电压源幅值为10 V频率为100 Hz、滑动变阻器总阻值5 kΩ、电容0.2 μF、电感200 mH、虚拟示波器XSC1和阻值为30 Ω的小电阻R1。创建电路如图如图2所示。将电容两端电压送入示波器的A端，电感电流送入示波器的B端。因为示波器显示的是电压变化规律，因此引入R1作为取样电阻，将其电流转变为其两端电压，从而可从示波器上同时观察到电容电压和电感电流的变化情况[6]。由于R1的引进，使得电容电压大于实际值，但因电阻值很小，结点3处电压仍为容性且数值改变很小，不会对结果产生影响。仿真中采用频率较低的方波电压源，可以避免多次手动开关给电容充放电。电路中：

3.1 过阻尼情况

如图2所示。取R2=5 kΩ×80%=4 kΩ，使R>2[LC]，电路处于过阻尼状态。电容充放电过程：接通仿真开关，电容被反复充放电。仿真过程：单击运行按钮，双击示波器XSC1图标，弹出示波器显示界面，观察到电容器和电感的充放电过程。

仿真结果：电容放电时的暂态过程中，uC（t）和iL（t）如图3所示，信道A反映了uC（t）的变化规律，信道B反映了iL（t）的变化规律，二者都是非振荡性的，经过4.158 ms衰减到零。

状态轨迹如图4所示，水平方向显示电容电压uC（t），竖直方向显示电感电流iL（t）。放电过程为水平轴以下的曲线。由于使用了方波电压源，电容充电过程对应的状态轨迹被显示为水平轴以上的曲线。

迹

3.2 临界阻尼情况

电路如图5所示。保持其他条件不变，取R2=5×40%=2 kΩ时，使R=2[LC]，电路处于临界阻尼状态。暂态过程uC（t）和iL（t）如图6所示，也为非振荡性的，经过2.321 ms就衰减到零，比过阻尼情况衰减快得多。状态轨迹如图7所示，放电过程为水平轴以下的曲线。

3.3 欠阻尼情况

电路如图8所示。保持其他条件不变，取R2=5×10%=500 Ω时，[R=2

当R=0时，电路如图11。由于R1阻值很小，损耗很小，uC（t）和iL（t）都成为振幅衰减很慢的正弦振荡，如图12所示，对应的状态轨迹如图13所示。

4 结 语

本文运用Multisim8软件对RLC二阶网络的暂态过程及其状态轨迹进行了仿真，这种方法既方便快捷，又形象直观，可以很好地印证理论计算的结果，加深对二端网络的理解。实践证明，在课堂上用Multisim8软件对电路进行仿真，与传统的板书或多媒体教学手段相比，会给学生留下更为深刻的印象，加深学生对电路状态的理解，大大提高教学效果，为后续的实验和专业课的学习打下更坚实的基础，是一种提高电路分析理论课教学效果的非常好的辅助教学手段，是进行电路分析教学改革的一种新途径。

参考文献

[1] 胡翔骏.电路基础[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2] 从宏寿，程卫群，李绍铭.Multisim8仿真与应用实例开发[M]. 北京：清华大学出版社，2007.

[3] 习大力.基于Multisim8的电压串联负反馈放大器仿真[J].电子科技，2003（4）：140?142.

[4] 李瀚荪.电路分析基础[M].北京：人民教育出版社，1978.

[5] 郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统（下册）[M].北京：高等教育出版社，2000.

[6] 李如琦，陈军灵.Multisim 仿真软件在电工电子实验教学中的应用[J].广西大学学报：哲学社会科学版，2005（11）：85?87.

[7] 习大力.基于Multisim8的串联谐振电路的仿真分析[J].现代电子技术，2013，36（8）：143?144.

[8] 张爱英.基于Multisim的三极管放大电路仿真分析[J].现代电子技术，2013，36（4）：123?126.

对n阶网络应该用n个状态变量来描述其状态。可以设想一个n维空间，每一维表示一个状态变量，构成一个“状态空间”。网络在每一时刻所处的状态可以用状态空间中一个点来表示，随着时间变化，点的移动形成一个轨迹，称为“状态轨迹”。电路参数不同，则状态轨迹也不相同。对三阶网络状态空间可用一个三维空间来表达，而二阶网络的状态可以用一个平面来表达[5]，则二阶网络的状态轨迹是平面曲线。

3 RLC二阶网络暂态过程及状态轨迹仿真分析

从元件库中选取方波电压源幅值为10 V频率为100 Hz、滑动变阻器总阻值5 kΩ、电容0.2 μF、电感200 mH、虚拟示波器XSC1和阻值为30 Ω的小电阻R1。创建电路如图如图2所示。将电容两端电压送入示波器的A端，电感电流送入示波器的B端。因为示波器显示的是电压变化规律，因此引入R1作为取样电阻，将其电流转变为其两端电压，从而可从示波器上同时观察到电容电压和电感电流的变化情况[6]。由于R1的引进，使得电容电压大于实际值，但因电阻值很小，结点3处电压仍为容性且数值改变很小，不会对结果产生影响。仿真中采用频率较低的方波电压源，可以避免多次手动开关给电容充放电。电路中：

3.1 过阻尼情况

如图2所示。取R2=5 kΩ×80%=4 kΩ，使R>2[LC]，电路处于过阻尼状态。电容充放电过程：接通仿真开关，电容被反复充放电。仿真过程：单击运行按钮，双击示波器XSC1图标，弹出示波器显示界面，观察到电容器和电感的充放电过程。

仿真结果：电容放电时的暂态过程中，uC（t）和iL（t）如图3所示，信道A反映了uC（t）的变化规律，信道B反映了iL（t）的变化规律，二者都是非振荡性的，经过4.158 ms衰减到零。

状态轨迹如图4所示，水平方向显示电容电压uC（t），竖直方向显示电感电流iL（t）。放电过程为水平轴以下的曲线。由于使用了方波电压源，电容充电过程对应的状态轨迹被显示为水平轴以上的曲线。

迹

3.2 临界阻尼情况

电路如图5所示。保持其他条件不变，取R2=5×40%=2 kΩ时，使R=2[LC]，电路处于临界阻尼状态。暂态过程uC（t）和iL（t）如图6所示，也为非振荡性的，经过2.321 ms就衰减到零，比过阻尼情况衰减快得多。状态轨迹如图7所示，放电过程为水平轴以下的曲线。

3.3 欠阻尼情况

电路如图8所示。保持其他条件不变，取R2=5×10%=500 Ω时，[R=2

当R=0时，电路如图11。由于R1阻值很小，损耗很小，uC（t）和iL（t）都成为振幅衰减很慢的正弦振荡，如图12所示，对应的状态轨迹如图13所示。

4 结 语

本文运用Multisim8软件对RLC二阶网络的暂态过程及其状态轨迹进行了仿真，这种方法既方便快捷，又形象直观，可以很好地印证理论计算的结果，加深对二端网络的理解。实践证明，在课堂上用Multisim8软件对电路进行仿真，与传统的板书或多媒体教学手段相比，会给学生留下更为深刻的印象，加深学生对电路状态的理解，大大提高教学效果，为后续的实验和专业课的学习打下更坚实的基础，是一种提高电路分析理论课教学效果的非常好的辅助教学手段，是进行电路分析教学改革的一种新途径。

参考文献

[1] 胡翔骏.电路基础[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2] 从宏寿，程卫群，李绍铭.Multisim8仿真与应用实例开发[M]. 北京：清华大学出版社，2007.

[3] 习大力.基于Multisim8的电压串联负反馈放大器仿真[J].电子科技，2003（4）：140?142.

[4] 李瀚荪.电路分析基础[M].北京：人民教育出版社，1978.

[5] 郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统（下册）[M].北京：高等教育出版社，2000.

[6] 李如琦，陈军灵.Multisim 仿真软件在电工电子实验教学中的应用[J].广西大学学报：哲学社会科学版，2005（11）：85?87.

[7] 习大力.基于Multisim8的串联谐振电路的仿真分析[J].现代电子技术，2013，36（8）：143?144.

[8] 张爱英.基于Multisim的三极管放大电路仿真分析[J].现代电子技术，2013，36（4）：123?126.

对n阶网络应该用n个状态变量来描述其状态。可以设想一个n维空间，每一维表示一个状态变量，构成一个“状态空间”。网络在每一时刻所处的状态可以用状态空间中一个点来表示，随着时间变化，点的移动形成一个轨迹，称为“状态轨迹”。电路参数不同，则状态轨迹也不相同。对三阶网络状态空间可用一个三维空间来表达，而二阶网络的状态可以用一个平面来表达[5]，则二阶网络的状态轨迹是平面曲线。

3 RLC二阶网络暂态过程及状态轨迹仿真分析

从元件库中选取方波电压源幅值为10 V频率为100 Hz、滑动变阻器总阻值5 kΩ、电容0.2 μF、电感200 mH、虚拟示波器XSC1和阻值为30 Ω的小电阻R1。创建电路如图如图2所示。将电容两端电压送入示波器的A端，电感电流送入示波器的B端。因为示波器显示的是电压变化规律，因此引入R1作为取样电阻，将其电流转变为其两端电压，从而可从示波器上同时观察到电容电压和电感电流的变化情况[6]。由于R1的引进，使得电容电压大于实际值，但因电阻值很小，结点3处电压仍为容性且数值改变很小，不会对结果产生影响。仿真中采用频率较低的方波电压源，可以避免多次手动开关给电容充放电。电路中：

3.1 过阻尼情况

如图2所示。取R2=5 kΩ×80%=4 kΩ，使R>2[LC]，电路处于过阻尼状态。电容充放电过程：接通仿真开关，电容被反复充放电。仿真过程：单击运行按钮，双击示波器XSC1图标，弹出示波器显示界面，观察到电容器和电感的充放电过程。

仿真结果：电容放电时的暂态过程中，uC（t）和iL（t）如图3所示，信道A反映了uC（t）的变化规律，信道B反映了iL（t）的变化规律，二者都是非振荡性的，经过4.158 ms衰减到零。

状态轨迹如图4所示，水平方向显示电容电压uC（t），竖直方向显示电感电流iL（t）。放电过程为水平轴以下的曲线。由于使用了方波电压源，电容充电过程对应的状态轨迹被显示为水平轴以上的曲线。

迹

3.2 临界阻尼情况

电路如图5所示。保持其他条件不变，取R2=5×40%=2 kΩ时，使R=2[LC]，电路处于临界阻尼状态。暂态过程uC（t）和iL（t）如图6所示，也为非振荡性的，经过2.321 ms就衰减到零，比过阻尼情况衰减快得多。状态轨迹如图7所示，放电过程为水平轴以下的曲线。

3.3 欠阻尼情况

电路如图8所示。保持其他条件不变，取R2=5×10%=500 Ω时，[R=2

当R=0时，电路如图11。由于R1阻值很小，损耗很小，uC（t）和iL（t）都成为振幅衰减很慢的正弦振荡，如图12所示，对应的状态轨迹如图13所示。

4 结 语

本文运用Multisim8软件对RLC二阶网络的暂态过程及其状态轨迹进行了仿真，这种方法既方便快捷，又形象直观，可以很好地印证理论计算的结果，加深对二端网络的理解。实践证明，在课堂上用Multisim8软件对电路进行仿真，与传统的板书或多媒体教学手段相比，会给学生留下更为深刻的印象，加深学生对电路状态的理解，大大提高教学效果，为后续的实验和专业课的学习打下更坚实的基础，是一种提高电路分析理论课教学效果的非常好的辅助教学手段，是进行电路分析教学改革的一种新途径。

参考文献

[1] 胡翔骏.电路基础[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2] 从宏寿，程卫群，李绍铭.Multisim8仿真与应用实例开发[M]. 北京：清华大学出版社，2007.

[3] 习大力.基于Multisim8的电压串联负反馈放大器仿真[J].电子科技，2003（4）：140?142.

[4] 李瀚荪.电路分析基础[M].北京：人民教育出版社，1978.

[5] 郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统（下册）[M].北京：高等教育出版社，2000.

[6] 李如琦，陈军灵.Multisim 仿真软件在电工电子实验教学中的应用[J].广西大学学报：哲学社会科学版，2005（11）：85?87.

[7] 习大力.基于Multisim8的串联谐振电路的仿真分析[J].现代电子技术，2013，36（8）：143?144.

[8] 张爱英.基于Multisim的三极管放大电路仿真分析[J].现代电子技术，2013，36（4）：123?126.