摘 要： 为了使层次分析法所得指标权重更接近实际，提出基于判断矩阵行一致信息的指标权重均值算法。算法通过提取蕴涵于判断矩阵每行的专家一致性判断信息，构造一组以每行元素为基础的一致性矩阵，根据多次测量所得平均值更接近被测对象真值的原理，取所得一致性矩阵的单位特征向量的平均向量作为指标权重。算法不需要对专家判断矩阵进行一致性检验，彻底避免了调整判断矩阵可能会丢掉专家判断信息的风险。实例计算表明，该算法切实可行。

关键词： AHP； 判断矩阵； 指标权重； 行一致性信息； 均值算法

中图分类号： TN911?34； O223 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2015）17?0114?03

Index weight mean value algorithm based on consistency

information in judgment matrix rows

SONG Huayu

（Department of Science and Technology， Shaanxi Provincial Party School， Xian 710061， China）

Abstract： To make the index weight obtained from AHP more close to the actual one， the index weight mean value algorithm based on consistency information of rows in judgment matrix is put forward. A group of consistency matrix which takes each row′s element as foundation is constructed by extracting consistency information of experts judgment contained in each row of judgment matrix. According to the principle that the average value obtained from multiple measurement is more close to the true value of the measured object， the average vector of unit eigenvector obtained from the consistency matrix is taken as the index weight. Since the algorithm needn′t check the consistency for the expert judgment matrix， the risk that the adjustment of judgment matrix may lose the expert judgment information can be avoided completely. The instance calculation shows that the algorithm is feasible.

Keywords： AHP； judgment matrix； index weight； consistency information of row； mean value algorithm

0 引 言

AHP确定指标权重的关键是专家根据指标的相对重要性构造判断矩阵[1]。由于客观事物的复杂性和人的认识能力的局限性，使得专家在作交叉判断时出现不一致的情况，如甲指标比乙指标明显重要，乙指标比丙指标稍微重要，而丙指标又比甲指标重要，由此专家给出的判断矩阵往往不满足一致性要求，对于此种情况，AHP的处理方法是调整判断矩阵以使其满足一致性要求[1?2]，而现有的研究成果也主要集中在如何调整判断矩阵才能提高其一致性水平上[3?12]。其实，并不是判断矩阵的一致性水平越高，指标权重就越接近实际[1?3]。相反，为了使判断矩阵的一致性水平达到要求而改变判断矩阵的元素，可能会丢掉专家的一部分判断信息，从而使所得指标权重更远离实际。由于判断矩阵是由领域专家经过认真研究确定的，因此有理由认为判断矩阵的大部分信息是比较准确的，基于此点，本文提出基于判断矩阵行一致信息的指标权重均值确定算法，该算法的最大特点是不需要对专家判断矩阵进行一致性检验，同时能充分利用专家比较准确的判断信息，有效减弱专家不准确判断信息对指标权重的影响。

1 算法原理

1.1 以行元素为基础的一致性矩阵

设某目标准则下所考虑的指标为[A1，][A2，…，An，]则相应的判断矩阵[A]具有如下形式：

[ A1 A2 … AnA=a11a12…a1na21a22…a2n……?…an1an2…ann A1A2?An]

式中：[aij]是专家按照1～9评判法则对指标[Ai]与[Aj]重要性程度的比较结果[1]，该判断矩阵[A]具有以下特点：

（1） [aij=1aji]，[i≠j]；

（2） [aij=1]，[i=j]。

即[A]是互反矩阵[4]。因此，确定判断矩阵[A，]实际上只需确定对角线元素[aii]（i=1，2，…，n）的右上角所有元素即可。

事实上，只要专家给出判断矩阵的任意一行元素（也就是专家给出任意一个指标同其他所有指标的相对重要性的判断结果），那么判断矩阵其他各行的元素就在一定的一致性逻辑关系下确定了（即其他指标两两之间相对重要性就确定了）。比如，有4个指标[A1，A2，A3，][A4，]专家给定[A=aijn×n]的第一行元素为[a11=1，][a12=3，][a13=7，][a14=9，]那么矩阵[A=aijn×n]中从第二行起的任何一个元素[aij]（[i=2，3，4；j=1，2，3，4]）就被第一行元素[a1i]和[a1j]确定了。以第二行元素[a23]被第一行元素[a12=3]和[a13=7]确定为例进行说明。[a23]是指标[A2]与[A3]相对重要性比较的结果，由[a12=3]可知[A1]比[A2]的重要性高2个等级，由[a13=7]可知[A1]比[A3]的重要性高6个等级，由此可以得出[A2]比[A3]的重要性高4个等级（由[6-2]计算得出），从而可得[a23=5。]用同样的方法，可以计算出[a24=7，][a34=3，]于是可以得到如下的一个互反矩阵：

[A（1）=1379131571715131917131]

由于矩阵[A（1）]是以指标[A1]与其他所有指标相对重要性的判断结果为基础，按照一定的一致性逻辑关系确定，所以[A（1）]满足一致性要求，称其为以行元素为基础的一致矩阵。经过对各种情况的分类研究，本文总结归纳出根据专家判断矩阵[A=aijn×n]中的任一行（设为第[k]行）元素构造一致矩阵（设为[A（k）=a（k）ijn×n]）的算法如下：

（1） 计算转换矩阵[B（k）=b（k）ijn×n]的第[k]行元素：

[b（k）kj=akj，akj≥12-1akj，akj<1] （1）

式中：[j=1，2，…，n。]

（2） 计算转换矩阵[B]的其他各行对角线右上角元素[b（k）ij]（[i≠k，]i

[b（k）ij=b（k）ki-b（k）kj] （2）

（3） 以专家判断矩阵[A]的第[k]行元素为一致矩阵[A（k）=a（k）ijn×n]的第[k]行元素，利用式（3）计算[A（k）]的其他行对角线右上角元素[a（k）ij]（[i≠k]，[i

[a（k）ij=1b（k）ij+1，0≤b（k）ij<9b（k）ij+1，-9

（4）根据[A（k）]是互反矩阵，写出一致性矩阵[A（k）=a（k）ijn×n]的其余元素。

1.2 指标权重均值确定算法

由于判断矩阵是由领域专家经过认真研究确定的，因此有理由认为判断矩阵的大部分信息是比较准确的，当以某行元素为基础构造一致性矩阵时，实际上就是利用蕴涵于那行元素的专家一致性判断信息对所有元素两两之间的相对重要性进行一次“测量”，根据多次测量所得平均值更接近被测对象真值的原理，可得如下指标权重均值确定算法：

（1） 分别以原专家判断矩阵[A=aijn×n]中的每一行元素为基础，按照1.1节的方法构造一组新的一致性矩阵[A（k）=a（k）ijn×n]，[k=1，2，…，n]；

（2） 用方根法求出每个[A（k）=a（k）ijn×n]的单位特征向量[W（k），][k=1，2，…，n；]

（3） 求出平均向量[W=1nk=1nW（k）]作为指标权重。

2 算 例

设原专家判断矩阵为：

[A=13131451311718537114848412151518121]

下面按照本文基于行一致性信息的均值算法确定指标权重：

（1） 分别以每行元素为基础，按照1.1节的方法构造如下5个一致矩阵[A（k）=a（k）ij5×5]（[k=1，2，…，5]）：

[A（1）=13131451311516335112746218151317181]

[A（2）=13131671311718537112968219171519191]

[A（3）=15131661511719237114869419161218191]

[A（4）=1511441511518121511444841714214171]

[A（5）=1114135111413544128331217151518171]

（2） 用方根法求出每个[A（k）=a（k）ij5×5]的单位特征向量[W（k）]：

[W（1）=（0.14，0.07，0.30，0.45，0.04）T][W（2）=（0.11，0.06，0.33，0.47，0.03）T]

[W（3）=（0.13，0.04，0.25，0.54，0.03）T][W（4）=（0.19，0.04，0.19，0.53，0.06）T]

[W（5）=（0.12，0.12，0.44，0.29，0.03）T]

（3） 计算平均向量[W：]

[W=15k=15W（k）=（0.138，0.066，0.302，0.456，0.038）T]

由此可知指标权重依次为[0.138，0.066，0.302，0.456，][0.038]。

3 结 语

（1） 本文提出基于判断矩阵行一致信息的指标权重均值确定算法，由于判断矩阵是由领域专家经过认真研究确定的，因此有理由认为判断矩阵的大部分信息是比较准确的，由多次测量求平均值的原理可知，本文算法能够充分利用判断矩阵中蕴涵的专家比较准确的判断信息，有效减弱了专家不准确判断信息对指标权重的影响。

（2） 由于以行元素为基础的一致矩阵是按照原判断矩阵中每行元素所蕴涵的专家判断的一致信息构造的，所以这些矩阵均满足一致性要求，从而无论原判断矩阵的一致性比率是否满足要求，按照本文方法得到的原判断矩阵的平均一致性比率一定满足要求，因此，本文方法不需要对原判断矩阵进行一致性检验。

（3） 算法完全可以通过计算机编程实现，指标越多，算法的效率越高。

参考文献

[1] 李瑛.决策统计分析[M].天津：天津大学出版社，2005.

[2] 董肇君.系统工程与运筹学[M].北京：国防工业出版社，2007.

[3] 姜启源.层次分析法应用过程中的若干问题[J].数学的实践与认识，2013，43（23）：157?168.

[4] 范春彦，韩晓明，汤伟华.AHP中专家判断信息的提取及指标权重的综合确定法[J].空军工程大学学报：自然科学版，2003，4（1）：65?67.

[5] 华中生，吴云燕，徐晓燕.一种AHP判断矩阵一致性调整的新方法[J].系统工程与电子技术，2003，25（1）：38?40.

[6] 朱建军，刘士新.一种新的改进不一致判断矩阵的方法[J].系统工程理论与实践，2001，19（4）：90?96.

[7] 骆正清.AHP中判断矩阵不一致性调整的新方法[J].系统工程理论与实践，2004，24（6）：84?92.

[8] 叶跃祥，糜仲春，王宏宇.AHP判断矩阵一致性调整的前瞻算法[J].系统工程，2006，24（10）：117?120.

[9] 严世华，田效.基于层次分析法的判断矩阵一致性调整方法[J].兵工自动化，2008，27（4）：8?9.

[10] 冯其明.一种提高判断矩阵一致性程度的方法[J].科技导报，2010，28（6）：32?34.

[11] 宋花玉.AHP法机场选址判断矩阵的一种构造方法[J].航空计算技术，2015，45（2）：68?71.

[12] 王国华，梁樑.专家判断矩阵的一种调整方法[J].系统工程，2001，19（4）：90?96.