第3章二维标量场等值线的生成;网格序列法;网格序列法;网格序列...
章雪婷,陈少平,饶文贵
摘 要： 提出了一种基于二维网格法的低密度奇偶校验码（LDPC）构造方法。 该方法对斜率集进行更加严格的筛选，利用一组特殊的数列作为斜率子集，该数列中不存在任何三项元素公差相等和任何四项元素公差相等或者成两倍的情况，从而排除线段构成三角形和四边形的可能，突破原有围长8的限制，得到围长为10的LDPC码字，显著提升了误码性能。采用该方法得到的码字校验矩阵具有准循环特性，能保证较低的编译码复杂度。Matlab仿真结果表明，该码在瀑布区域具有良好的性能，同时具有较好的错误平层特性。
关键词： 低密度奇偶校验码； 二维网格法； 码字校验矩阵； 斜率集筛选
中图分类号： TN919.3?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）23?0075?05
Abstract： A LDPC construction method based on 2D lattice method is proposed in this paper. With the method， a strict selection of slope sets is carried out to avoid the possibility of forming triangle and quadrangle in configuration. As a result， girth?ten LDPC was accomplished to improve performance significantly instead of girth?eight one known as before. Besides， the resul?ting parity?check matrix has the feature of quasi?cyclic permutation， so that encoding and decoding of these codes can be efficiently implemented by using simple shift?registers. The result of simulation with Matlab shows that the proposed code performs excellent in the waterfall region and has good error floor property.
Keywords： LDPC； 2D lattice； codon check matrix； slope set selection
0 引 言
LDPC码字最早由Gallager在1962年提出，因其较低的译码复杂度以及逼近香农极限的优异性能受到国内外学者与工业界的关注，广泛应用于光纤通信，信息存储以及无线通信系统等各个领域[1?4] 。校验矩阵的构造和译码算法一直都是研究领域的两大热点，而降低编译码复杂度和提高译码性能的关键在于校验矩阵的构造。良好的码字结构可以大大简化编码过程，提高译码效率，降低误码机率。
LDPC码构造方式主要分为随机构造和结构化构造。Mackay和Gallager提出的随机构造矩阵方法，尽管编码思想简单，但码长较短的码字容易出现短环从而影响码字性能，并且存在编码储存量大、译码复杂度高的缺陷。为了易于硬件实现，专家学者更加关注结构化构造方法，例如利用代数方法提出的基于有限几何LDPC构造方法[5?6]，码字具有相对较好的最小距离，并且不包含短环，因而译码性能优异，但校验矩阵的非满秩特性会造成码率损失。
准循环矩阵构造方法[7?9]也是一种结构化构造方案，因其较低的编译码复杂度和良好的误码性能，广泛应用于多种无线、深空通信标准，但性能曲线中往往易出现较高的差错平台，影响整体码字性能。利用均衡不完全区组设计方法（BIBD）对准循环矩阵进行改进[10]，在构造过程中对斜率集进行巧妙筛选，得到围长为8的LDPC码字，有效降低了差错平台。基于BIBD的3D网格法，将二维网格扩展到三维网格图，并在三维网格中截取出[Q]平面，利用[Q]平面上平行循环直线与网格点的对应关系，构造出围长至少为10的3D?LDPC码字。该方法有效提升了译码性能，但生成矩阵并不是一个稀疏的分块循环矩阵；采用高斯消元法得到的生成矩阵是一个密集矩阵，导致编码复杂度较高。
同样基于二维网格法，本文利用一组特殊的数列作为斜率子集，该数列中不存在任何三项元素公差相等和任何四项元素公差相等或者公差成两倍的情况，从而使得网格中的线段无法构成三角形和四边形，得到同样围长为10的LDPC码字。与3D网格法相比，该方法大大降低了编码复杂度。
文章先介绍基于BIBD的网格构造法，然后介绍基于二维网格法围长为10的LDPC码的校验矩阵构造法并给出复杂度分析，最后给出围长为10的LDPC码字在高斯白噪声（AWGN）信道下的Matlab仿真性能曲线图，与围长为8的LDPC和Mackay随机码进行比较分析并给出结论。
1 基于BIBD的网格构造
高围长准循环LDPC码字构造方法的主要思想是将有限平面上点与线的对应关系映射到校验矩阵非零元素的位置上，巧妙构造出了具有良好性能的高码率围长为8的LDPC码字。下面详细介绍构造方法：
（1） 确定校验矩阵的结构
确定校验矩阵[H]的大小[M×N，]行重[r]和列重[m，]使其满足[M=r×m，][N=r×S，][S]为斜率集中的斜率个数。
（2） 架构点线关系
根据行重[r]和列重[m，]得到长为[r-1]宽为[m-1]的网格，网格上的点集[L]表示为：
[L={（x，y）： 0≤x≤m-1，0≤y≤r-1}] （1）
以网格左下角的点为原点建立笛卡尔坐标系，网格长边对应[y]轴，宽边对应[x]轴。运用点斜式表示线段，能够更加直观的表现出点线关系：
[y=sx+y0modr， 0≤s≤r-1，0≤y0≤r-1] （2）
注意，由于网格建立在有限平面内，所以必须对直线进行模处理，使直线成为[（r-1）×（m-1）]域内的线段。
按照斜率大小将线段划分为[r]组平行线，得到斜率集{0，1，2，…，r-1}，每一组平行线再根据线段与[y]轴截点大小进行升序排列，同时给网格中每个点进行标号：
[i=（r+1）x+y+1，i∈{1，2，…，rm}] （3）
（3） 点线关系映射矩阵元素
点对应校验矩阵[H]的行，线段对应[H]的列，若点[i]位于斜率为[s]截距为[y0]的线段上，那么[Hi，（s·r+y0+1）=1，]其他元素为0。
设定[r=5，][m=3，]构造大小为15×25的校验矩阵，图1为相应的网格图，图2为平行线段组，即斜率集{0，1，2，3，4}，每一斜率集中的线段由该线段经过的网格点来表示。根据该方法得到的校验矩阵具有准循环特性，与随机构造的码字相比，大大简化了编码复杂度。
<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t1.tif>；
图1 [r=5，][m=3]对应的网格图
网格构造法的优势在于能够巧妙避免校验矩阵中围长为4的短环。因为围长为4的短环对应校验矩阵中相互连接的两个校验点和两个信息点，这就要求网格上的两个点同时出现在两条不同的线段上，根据两点只能确定一条直线（线段）的定理可知构造得到的校验矩阵不存在短环。同理，围长为6的环对应校验矩阵的三个校验点和三个信息点，映射为网格上的三条线段和三个点，当这三条线段和三个网格点能够构成三角形时，说明构造矩阵中存在围长为6的短环。
<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t2.tif>；
图2 r=5，m=3构造的斜率集
如果对斜率集进行筛选，得到一组特殊的斜率子集，使相应线段和点无法构成三角形，那么就可以产生围长为8的LDPC码字。具体方法如下：
将网格中第[i]条线段表示为：
[yi=y0，i+si?x（modr），i=1，2，3] （4）
式中：[si]表示斜率；[y0，i]表示截距。
若[y1，][y2，][y3]三条线段构成三角形，将三个顶点分别设为[（x12，y12），][（x23，y23），][（x13，y13），]那么这三个顶点必须满足以下等式：
[y12=y0，1+s1x12，y12=y0，2+s2x12] （5）
[y13=y0，1+s1x13，y13=y0，3+s3x13] （6）
[y23=y0，2+s2x23，y23=y0，3+s3x23] （7）
合并式（5）～式（7），化简得到：
[（s1-s2）x12+（s2-s3）x23+（s3-s1）x13=0] （8）
任意两个顶点不可能具有相同的横坐标值，因此，可以假定[x12=0，][x23=1，][x13=2，]不失一般性（任意交换[x12，][x23，][x13]的值，得到的结果相同），式（8）可化简为：
[s1-s2=s3-s1] （9）
可以看出[s1，][s2，][s3]构成一个等差数列。反之如果斜率子集中任意三个元素无法构成等差数列，那么由该斜率子集构造的网格线段将无法构成三角形，也就说明校验矩阵内不存在围长为6的环。数列M2353满足以上条件，从而得到斜率子集S={0，1，3，4，9，10，12，…}，构造出围长为8的LDPC码字（简称girth?8），仿真结果[11]显示Girth?8码字误码性能与Mackay随机构造的性能相近，并且性能曲线中仍然出现较高的差错平台。
2 基于二维网格法围长为10的校验矩阵构造法
2.1 构造方法介绍
为了优化二维网格法构造的码字性能，更好地解决差错平台问题，在此基础上，本文对斜率集进一步筛选，避免网格中的线段构成三角形和四边形，从而构造出围长为10的LDPC码字，详细构造方法如下：
对于正则LDPC而言，当列重大于3时，最小汉明距离会随着码长线性增长，同时为了简化构造过程，规定m=3。
与上述提出的方法相似，假设其中一个四边形由四条斜率分别为[s1，s2，s3，s4]的线段构成，将该四边形的四个顶点分别表示为（x12，y12），（x23，y23），（x34，y34），（x14，y14），那么四个顶点满足以下条件：
[y12=y0，1+s1x12，y14=y0，1+s1x14] （10）
[y12=y0，2+s2x12，y23=y0，2+s2x23] （11）
[y23=y0，3+s3x23，y34=y0，3+s3x34] （12）
[y14=y0，4+s4x14，y34=y0，4+s4x34] （13）
将式（10）～式（13）进行合并，化简得到：
[s1（x12-x14）+s2（x23-x12）+s3（x34-x23）+s4（x14-x34）=0] （14）
将四边形根据顶点位置分为两类：
（1） 只有一对顶点横坐标相同
假设相同的顶点都为[x14，][x23，]则：
① [x23=x14=0，][x12=1，][x34=2，]不失一般性，代入式（14）得到：
[2（s3-s4）+（s1-s2）=0] （15）
② [x23=x14=1，][x12=0，][x34=2，]不失一般性，代入式（14）得到：
[（s3-s4）+s2-s1=0] （16）
③ [x23=x14=2，][x12=1，][x34=0，]不失一般性，代入式（14）得到：
[2（s3-s4）+s1-s2=0] （17）
（2） 两对顶点横坐标相同
假设[x23=x14=0，][x12=x34=1，]不失一般性，代入式（14）得到：
[（s3-s4）+s2-s1=0] （18）
从上面两种情况可以看出：当数列中任意四个元素[a，][b，][c，][d]满足[a-b≠c-d]以及[a-b≠2（c-d）]时，该数列对应的斜率子集所构造的网格线段将无法构成四边形，那么对应的校验矩阵中也不会存在围长为8的环。若数列M2353对应正整数集的子集能够满足任意四个元素公差不相等或者无法构成两倍时，就能够获得围长为10的码字。
下面提供一种数列算法可以得到满足条件的序列：
a序列表示输入序列，即M2353。[ai（a[i]）]为序列第[i]个元素[。m]中存储序列中任意两数的差值，[n]中存储差值的两倍或者一半。error指示新加入的数字是否符合条件，0表示符合，其他表示不符合。
输入：[a0，][a1]
初始化赋值： [m0，][n0]
for i=2；i≤序列所需个数；i++
{
for d=1；d ≤数列中最大值和最小值的估计差值；d++
{
error=2；
if d不在m和n的范围内 then
a[i]=a[i-1]+d；
for 数列的旧元素 do
{
if 检验新加入的元素和原集合中所有元素的差值在m或者n中 then
error=1；
跳出循环，d加1，到error=2处开始执行
}
error =0；
if error==0 then
更新m和n；
}
}
最后输出a0，a1，a2，….
最后输出的{a0，a1，a2，…}即为满足条件的数列。
基于二维网格法，对斜率集进行进一步筛选，得到的斜率子集能够使网格中线段和点无法构成三角形和四边形，从而获得围长为10的LDPC码字。
2.2 复杂度分析
2.2.1 存储空间比较
本文构造的校验矩阵由[S×S]单位矩阵组成，每一行中有[r]个分块循环子矩阵，每一列有[m]个分块循环子矩阵。校验矩阵的准循环结构使得存储单元中只需存储每一分块矩阵的位置和循环移位次数，就等效存储了该矩阵所有元素信息。因此总体存储量只需[r×m×] [（ln（r）+ln（m）+ln（S））]比特，而对于随机构造LDPC码字，则需要存储每一个元素1的行列具体位置，总体存储量则需要[S×r×m×（ln（S×r）+ln（S×r））]比特。3D? LDPC码字为了简化编码过程，在原有构造得到的矩阵基础上进行扩展，加入了准三对角结构的矩阵，额外增加了[m2（2ln（m）+ln（r））]比特的存储单元。
2.2.2 编码复杂度
采用基本的编码方法进行编码，将校验矩阵[H]通过高斯消元法转化为生成矩阵[G。]通常的高斯消元法对[N×N]的矩阵求逆的复杂度是O（N3），而本文提出的校验矩阵具有准循环结果，因此基于子矩阵高斯消元法求逆算法复杂度仅仅包括行交换运算复杂度O（1）、行叠加运算复杂度O（M）、行乘法运算复杂度O（MS）和求逆元复杂度O（S3），与随机结构相比，大大降低了运算复杂度。而3D?LDPC码字采用高斯消元法进行系统化时，会导致编码器复杂度较高，并没有采用该方法进行编码。
3 仿真结果与结论
利用以上介绍的数列算法，得到数列{1，3，4，11，22，34，51，78，119，…}，从而确定斜率子集，分别构造出三种不同码长不同码率的Mackay随机码（列重为3且无4环）、围长为8的LDPC以及本文提出的围长为10的LDPC，在AWGN信道下进行Matlab仿真，仿真帧数为10 000，调制方式为BPSK，采用置信度传播译码算法进行译码，译码最大迭代次数为50，得到最终仿真结果如下：
图3显示的是码率为0.5码长为426的Mackay随机码、围长为8的LDPC以及改进后围长为10的码字的性能比较。
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图3 码率为0.5，码长为426的三种LDPC性能比较
从图3可以看出，围长为10的LDPC码在误码率10-3处相对于Mackay随机码有0.2～0.3 dB的性能提升；在误码率10-4处，相对于Girth?8LDPC有0.4 dB的性能提升，且Girth?10LDPC整体性能曲线中没有出现差错平台。相比之下，Mackay随机码与围长为8的LDPC于3.5 dB处均出现差错平台，并且围长为8的LDPC整体性能不及Mackay码。因此可以看出，本文提出的围长为10的LDPC码字性能最优。
图4显示的是码率为0.57，码长为721的三种码字的性能比较。
<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t4.tif>；
图4 码率为0.57，码长为721的三种LDPC性能比较
分析性能曲线图可以看出，围长为10的LDPC码的性能曲线几乎与Mackay随机码字完全重合，在信噪比0～1.6 dB范围内，Girth?8LDPC码字性能略微优于其他两种码字，误码率随着信噪比的增加而持续降低，但在1.6 dB以后降低趋势逐渐变缓。而围长为10的LDPC和Mackay随机码字误码率随着信噪比的增加保持整体快速下降趋势，且无差错平台产生，并且在信噪比2 dB以后围长为10的LDPC性能略微优于Mackay随机码字。
图5显示的是码率为0.625，码长为1 256的三种码字的性能比较。
<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t5.tif>；
图5 码率为0.625，码长为1 256的三种LDPC性能比较
从图5分析可以得到，在信噪比0～2 dB范围内，围长为10与围长为8的LDPC性能曲线相近且都略微优于Mackay随机码；而在2 dB以后，围长为10的LDPC性能曲线则接近于Mackay随机码性能曲线，并于误码率10-3处，两者相比于围长为8的LDPC有0.3 dB的性能提升；于误码率10-5处，有0.8 dB的性能提升。而围长为8的LDPC在信噪比2 dB以后，误码率随信噪比增加的下降趋势变化减缓，且在信噪比3.5 dB处出现了差错平台。
综上所述，三种LDPC码字中，本文提出的围长为10的LDPC误码性能相对较优，与Mackay随机码字相比，两者性能相近或前者优于后者，并且围长为10的LDPC性能曲线中没有出现差错平台。而围长为8的LDPC码字，尽管在低信噪比（2 dB以内）情况下，误码性能优异，甚至出现优于其他两种码字的情况，但在高信噪比（大于2 dB）条件下，误码率下降速度较为缓慢且极易出现差错平台，影响整体性能。
4 结 语
本文基于网格法提出的围长为10的LDPC构造方法，能够有效降低差错平台，提升误码性能。其与围长为8的LDPC和Mackay随机码字相比，均有不同程度上的性能提升，同时由于其准循环特性，使得所占存储空间较少，编码复杂度较低。
参考文献
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从图3可以看出，围长为10的LDPC码在误码率10-3处相对于Mackay随机码有0.2～0.3 dB的性能提升；在误码率10-4处，相对于Girth?8LDPC有0.4 dB的性能提升，且Girth?10LDPC整体性能曲线中没有出现差错平台。相比之下，Mackay随机码与围长为8的LDPC于3.5 dB处均出现差错平台，并且围长为8的LDPC整体性能不及Mackay码。因此可以看出，本文提出的围长为10的LDPC码字性能最优。
图4显示的是码率为0.57，码长为721的三种码字的性能比较。
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图4 码率为0.57，码长为721的三种LDPC性能比较
分析性能曲线图可以看出，围长为10的LDPC码的性能曲线几乎与Mackay随机码字完全重合，在信噪比0～1.6 dB范围内，Girth?8LDPC码字性能略微优于其他两种码字，误码率随着信噪比的增加而持续降低，但在1.6 dB以后降低趋势逐渐变缓。而围长为10的LDPC和Mackay随机码字误码率随着信噪比的增加保持整体快速下降趋势，且无差错平台产生，并且在信噪比2 dB以后围长为10的LDPC性能略微优于Mackay随机码字。
图5显示的是码率为0.625，码长为1 256的三种码字的性能比较。
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图5 码率为0.625，码长为1 256的三种LDPC性能比较
从图5分析可以得到，在信噪比0～2 dB范围内，围长为10与围长为8的LDPC性能曲线相近且都略微优于Mackay随机码；而在2 dB以后，围长为10的LDPC性能曲线则接近于Mackay随机码性能曲线，并于误码率10-3处，两者相比于围长为8的LDPC有0.3 dB的性能提升；于误码率10-5处，有0.8 dB的性能提升。而围长为8的LDPC在信噪比2 dB以后，误码率随信噪比增加的下降趋势变化减缓，且在信噪比3.5 dB处出现了差错平台。
综上所述，三种LDPC码字中，本文提出的围长为10的LDPC误码性能相对较优，与Mackay随机码字相比，两者性能相近或前者优于后者，并且围长为10的LDPC性能曲线中没有出现差错平台。而围长为8的LDPC码字，尽管在低信噪比（2 dB以内）情况下，误码性能优异，甚至出现优于其他两种码字的情况，但在高信噪比（大于2 dB）条件下，误码率下降速度较为缓慢且极易出现差错平台，影响整体性能。
4 结 语
本文基于网格法提出的围长为10的LDPC构造方法，能够有效降低差错平台，提升误码性能。其与围长为8的LDPC和Mackay随机码字相比，均有不同程度上的性能提升，同时由于其准循环特性，使得所占存储空间较少，编码复杂度较低。
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从图3可以看出，围长为10的LDPC码在误码率10-3处相对于Mackay随机码有0.2～0.3 dB的性能提升；在误码率10-4处，相对于Girth?8LDPC有0.4 dB的性能提升，且Girth?10LDPC整体性能曲线中没有出现差错平台。相比之下，Mackay随机码与围长为8的LDPC于3.5 dB处均出现差错平台，并且围长为8的LDPC整体性能不及Mackay码。因此可以看出，本文提出的围长为10的LDPC码字性能最优。
图4显示的是码率为0.57，码长为721的三种码字的性能比较。
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图4 码率为0.57，码长为721的三种LDPC性能比较
分析性能曲线图可以看出，围长为10的LDPC码的性能曲线几乎与Mackay随机码字完全重合，在信噪比0～1.6 dB范围内，Girth?8LDPC码字性能略微优于其他两种码字，误码率随着信噪比的增加而持续降低，但在1.6 dB以后降低趋势逐渐变缓。而围长为10的LDPC和Mackay随机码字误码率随着信噪比的增加保持整体快速下降趋势，且无差错平台产生，并且在信噪比2 dB以后围长为10的LDPC性能略微优于Mackay随机码字。
图5显示的是码率为0.625，码长为1 256的三种码字的性能比较。
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图5 码率为0.625，码长为1 256的三种LDPC性能比较
从图5分析可以得到，在信噪比0～2 dB范围内，围长为10与围长为8的LDPC性能曲线相近且都略微优于Mackay随机码；而在2 dB以后，围长为10的LDPC性能曲线则接近于Mackay随机码性能曲线，并于误码率10-3处，两者相比于围长为8的LDPC有0.3 dB的性能提升；于误码率10-5处，有0.8 dB的性能提升。而围长为8的LDPC在信噪比2 dB以后，误码率随信噪比增加的下降趋势变化减缓，且在信噪比3.5 dB处出现了差错平台。
综上所述，三种LDPC码字中，本文提出的围长为10的LDPC误码性能相对较优，与Mackay随机码字相比，两者性能相近或前者优于后者，并且围长为10的LDPC性能曲线中没有出现差错平台。而围长为8的LDPC码字，尽管在低信噪比（2 dB以内）情况下，误码性能优异，甚至出现优于其他两种码字的情况，但在高信噪比（大于2 dB）条件下，误码率下降速度较为缓慢且极易出现差错平台，影响整体性能。
4 结 语
本文基于网格法提出的围长为10的LDPC构造方法，能够有效降低差错平台，提升误码性能。其与围长为8的LDPC和Mackay随机码字相比，均有不同程度上的性能提升，同时由于其准循环特性，使得所占存储空间较少，编码复杂度较低。
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