曾会华++徐庆华

[摘 要]褶皱结构是二十世纪九十年代中期最先在国外出现的一种纵向和横向均呈之字形曲折的异形芯材结构，这种结构是一种新的，具有广泛应用前景的飞机结构材料。在航空领域，选择任何结构都遵循在满足功能需要时，要求结构重量最轻，褶皱结构也是如此。对V型褶皱芯材夹层板的热传导性能构建了可用的代理模型，给出了数值模拟函数和最轻重量条件下的优化设计方法。

[关键词]褶皱芯材；夹层结构；代理模型；优化设计

中图分类号：V229+.7 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）46-0001-03

引言

在现代飞行器制造业中，夹层板结构得到了极其广泛的应用。随着可重复使用飞行器的发展，热防护系统在向着防热-结构-推进系统一体化设计的方向发展，与此同时，整个防热系统在总起飞重量中所占的重量比例也在降低，而使用温度升高，即要求防热结构日趋先进。

褶皱夹芯板由于其特殊构型，可设计性更强，在防热方面具有很大的潜力。褶皱芯材的构型参数、芯材厚度参数及面板厚度参数对褶皱结构传热效果影响巨大。由于参数数量较多，所以当传热系数相同时，完全可以是几种不同的构型组合形式。所以应当选择适当的、最优化的构型参数来满足实际的工程需要。

1 V型褶皱芯材夹层板的芯材简述

褶皱芯材夹层板的芯材多种多样，最简单的褶皱芯材是V型褶皱芯材，它是由板（箔）料按有规律的线系网格（图1（a））进行局部褶皱而得到的立体构型（图1（b））。褶皱后得到的立体结构单元如图2所示。它具有4个独立的参数：高度（H；Z形线的步长（2S；锯齿形线的步长（2L；Z形线的折幅（V。

2 褶皱夹层板结构优化设计问题的表述

在航空航天领域，选择任何结构都遵循在满足功能需要时，要求结构重量最轻，褶皱结构也是如此。根据褶皱结构芯材的密度表达式有：

式中：—为单元体芯材的厚度，m；

—为单元体芯材材料的密度，kg/m3；

—为单元体的密度，kg/m3；

所以，当芯材的材料和厚度选定时（和确定），芯材的密度与其四个构型参数有一定的函数关系。而当量导热系数λeff与四个构型参数没有明确的函数表达形式，所以在这里我们用代理模型来构建这一关系。为了更直观的表述这一问题，设r为芯材的当量导热系数，m为芯材密度与构型参数有关部分的比例系数，所以优化的数学表达形式为：

约束条件： r =f（H，L，S，V）

目标变量：

设计变量：H，L，S，V

取值范围： 15mm≤H≤54mm，

15mm≤L≤54mm，

15mm≤S≤54mm，

15mm≤V≤54mm；

这里芯材厚度t==0.1mm，上下面板厚度δ=0.2mm。

3 试验设计法

试验设计方法是有关如何合理安排试验的数学方法，它是多学科设计优化代理模型的取样策略，决定了构造代理模型所需样本点的个数和这些点的空间分布情况。

本文采用拉丁方试验设计方法，它是一种修正的蒙特卡罗方法，是应用广泛的现代试验设计技术之一，适用于影响因素较多的情况，可显著减少试验规模。拉丁超立方抽样是按如下方法选取设计点的：设有n个设计变量，每个变量p个水平。拉丁超立方抽样将每个设计变量分为p个区间，若因均匀分布，则p个区间等间隔。这样整个变量空间分成pn个子区域。遵循下列两个原则取试验点。1）样本点在每个子区域随机选取。2）在任一维，即任一变量上的投影有p个区间，每个区间有且仅有一个样本点。下图为两因素4水平的拉丁超立方抽样。

其中，，k为样本点数量即试验次数，n是设计变量的个数，U 为[0 1]之间的随机数，为0，1…，k-1独立随机排列，有k！种排列。i表示第i次试验（sample number），j表示第j个变量（dimension index）。从上面可以看出样本点是随机的，每次计算结果都不一样，但是分布均匀，覆盖整个设计空间。

4 响应面模型

多学科设计优化的代理模型是利用已知点的响应信息来预测未知点响应值的一类模型，其实质是以一个拟合精度和预测精度为约束，利用近似方法对离散数据进行拟合的数学模型。这类模型在数学上可以通过拟合与插值来实现，即利用已知点构造拟合函数来预测未知点响应或利用已知点信息插值计算未知点处的响应。

4.1 多项式响应面模型

多项式响应面是多学科设计优化中最为常用的一种代理模型，其基本数学表达形式如下所示：

式中xi是m维自变量x的第i个分量，是未知参数，将它们按照一定次序排列，构成列向量β，求解多项式拟合模型的关键就是求解向量β。

多项式响应面模型具有良好的连续性和可导性，能较好地去除数字噪声的影响，极易实现寻优；而且根据上式中各分量的系数的大小，可以判断各项参数对整个系统响应影响的大小。

4.2 Kriging模型

Kriging模型是一种估计方差最小的无偏估计模型，它通过相关函数的作用，具有局部估计的特点。Kriging模型假设系统的响应值与自变量之间的真实关系可以表示成如下的形式：

其中是一个确定性部分，称为确定性漂移，一般用多项式表示；称为涨落，它具有如下的统计特性：

上式中的是以c为参数的相关函数，而中常用的核函数有Gauss函数：

指数函数：

其中dj是表征待测点与样本点之间距离关系的量，cj是核函数在样本点第j个方向的常数参量，各个方向cj的值可以相同，也可以不同。

方差为：

其中， 。

由于Kriging模型要求模型的预测方差最小，所以求解权系数w的问题最后就化为求解等式约束下的极值问题。利用拉格让日乘子法求解得到的最终结果如下：

最终得

其中，。

Kriging方法具有局部估计的特点，这使其在解决非线性程度较高的问题时比较容易取得理想的拟合效果。另外由于输入矢量各方向的核函数的参数cj可以取不同值，所以Kriging方法既可以用来解决各向同性问题也可以用来解决各向异性问题。5 优化算法

优化算法选用序列二次规划方法（Sequential Quadratic Programming简记为SQP）。二次规划（Quadratic Programming）是指目标函数为二次、约束函数为线性的非线性规划，常可利用最优解的K-T条件出发构造有效的解法。序列二次规划方法，将变尺度法用于约束极小化问题，这一方法是在当前的迭代点xk处，利用目标函数的二次近似和约束函数的一次近似构成一个二次规划，通过求解这一个二次规划获得下一个迭代点xk+1这种将求解非线性规划转换为求解一系列二次规划的方法，称为序列二次规划方法。

6 褶皱结构的优化设计

6.1 褶皱结构响应面的建立

根据上述的研究方法，4个设计变量通过用拉丁超立方抽样进行试验设计确定了40个试验设计点。应用ANSYS进行分析计算，得出与其相对应的上表面热流量，再计算出芯材的当量导热系数，如表1所示：

6.1.1 多项式响应面模型

褶皱结构响应面的建立对表1的计算结果进行二次多项式响应面拟合，即可定量分析各参数对当量导热系数和重量的影响。用拉丁超立方抽样进行试验设计得到二次多项式响应面的表达式为：

图4至11表示了各参数与r和m的关系。

从以上各图中可以看出，r随H和V的增加而增加，随L和S的增加而减小，变化规律和趋势与第三章的研究一致；而m随H、L和S的增加而减小，随V和S的增加而增加，变化规律由目标变量公式可知，也是一致相同的。

多项式响应面模型误差范围一般在10%～20%之间。虽然有些偏差，但是在前期选型阶段，对定性分析、选型来说，这个精度是可以接受的，所以我们可以用上述的二次多项式响应面模型公式来定性分析，选择我们需要的褶皱构型参数。

6.2 Kriging模型的建立

对表1的数据建立Kriging模型，可得各个参数的变化规律趋势大致同上。通过比较可以发现，Kriging模型精度更高，拟合的更好，更符合计算模型，在一定范围内完全可以替代ANSYS计算的当量导热系数的分析模型。

6.3 褶皱结构的优化结果

在Kriging模型建立响应面的基础上，我们利用序列二次规划方法进行优化设计，在这里结合工程实际，构型参数如下：

15mm≤H≤30mm；

15mm≤L≤40mm；

15mm≤S≤50mm；

15mm≤V≤40mm。

约束条件：

r=0.20W/m·℃。

目标变量：m=min。

优化结果为：设计变量H=21.48mm，L=40mm，S=50mm，V=15mm，目标变量m=0.52。

将优化所得设计变量代回ANSYS计算得r=0.21 W/m·℃。由目标变量公式可知m=0.53。

优化结果表明，代理模型的计算精度完全可以满足要求。

5 结束语

对V型褶皱芯材夹层板结构在同一传导系数要求下，如何精心设计、调整构型间的参数变化，通过设计优化取得比较合适的值使得结构重量最轻，这说明褶皱结构的设计优化是必要的。对V型褶皱芯材夹层板结构而言，还有很多问题有待于进一步深入研究：如综合考虑外形、结构、强度等要求，实现一体化设计。

参考文献

[1] 穆雪峰，多学科设计优化代理模型技术的研究和应用[D]，南京：南京航空航天大学学报，2004

[2] Simpson，T.W.，Mauery，etal.Comparison of Response Surface and Kriging Models for Multidisciplinary Design Optimization[J].AIAA 98-4755

[3] 陶文铨，数值传热学，西安交通大学出版社，2001

作者简介

曾会华（1980-）：男（汉），江苏省如东县人，硕士研究生，广州民航职业技术学院讲师，主要研究方向为航空材料及飞机故障诊断。

最终得

其中，。

Kriging方法具有局部估计的特点，这使其在解决非线性程度较高的问题时比较容易取得理想的拟合效果。另外由于输入矢量各方向的核函数的参数cj可以取不同值，所以Kriging方法既可以用来解决各向同性问题也可以用来解决各向异性问题。5 优化算法

优化算法选用序列二次规划方法（Sequential Quadratic Programming简记为SQP）。二次规划（Quadratic Programming）是指目标函数为二次、约束函数为线性的非线性规划，常可利用最优解的K-T条件出发构造有效的解法。序列二次规划方法，将变尺度法用于约束极小化问题，这一方法是在当前的迭代点xk处，利用目标函数的二次近似和约束函数的一次近似构成一个二次规划，通过求解这一个二次规划获得下一个迭代点xk+1这种将求解非线性规划转换为求解一系列二次规划的方法，称为序列二次规划方法。

6 褶皱结构的优化设计

6.1 褶皱结构响应面的建立

根据上述的研究方法，4个设计变量通过用拉丁超立方抽样进行试验设计确定了40个试验设计点。应用ANSYS进行分析计算，得出与其相对应的上表面热流量，再计算出芯材的当量导热系数，如表1所示：

6.1.1 多项式响应面模型

褶皱结构响应面的建立对表1的计算结果进行二次多项式响应面拟合，即可定量分析各参数对当量导热系数和重量的影响。用拉丁超立方抽样进行试验设计得到二次多项式响应面的表达式为：

图4至11表示了各参数与r和m的关系。

从以上各图中可以看出，r随H和V的增加而增加，随L和S的增加而减小，变化规律和趋势与第三章的研究一致；而m随H、L和S的增加而减小，随V和S的增加而增加，变化规律由目标变量公式可知，也是一致相同的。

多项式响应面模型误差范围一般在10%～20%之间。虽然有些偏差，但是在前期选型阶段，对定性分析、选型来说，这个精度是可以接受的，所以我们可以用上述的二次多项式响应面模型公式来定性分析，选择我们需要的褶皱构型参数。

6.2 Kriging模型的建立

对表1的数据建立Kriging模型，可得各个参数的变化规律趋势大致同上。通过比较可以发现，Kriging模型精度更高，拟合的更好，更符合计算模型，在一定范围内完全可以替代ANSYS计算的当量导热系数的分析模型。

6.3 褶皱结构的优化结果

在Kriging模型建立响应面的基础上，我们利用序列二次规划方法进行优化设计，在这里结合工程实际，构型参数如下：

15mm≤H≤30mm；

15mm≤L≤40mm；

15mm≤S≤50mm；

15mm≤V≤40mm。

约束条件：

r=0.20W/m·℃。

目标变量：m=min。

优化结果为：设计变量H=21.48mm，L=40mm，S=50mm，V=15mm，目标变量m=0.52。

将优化所得设计变量代回ANSYS计算得r=0.21 W/m·℃。由目标变量公式可知m=0.53。

优化结果表明，代理模型的计算精度完全可以满足要求。

5 结束语

对V型褶皱芯材夹层板结构在同一传导系数要求下，如何精心设计、调整构型间的参数变化，通过设计优化取得比较合适的值使得结构重量最轻，这说明褶皱结构的设计优化是必要的。对V型褶皱芯材夹层板结构而言，还有很多问题有待于进一步深入研究：如综合考虑外形、结构、强度等要求，实现一体化设计。

参考文献

[1] 穆雪峰，多学科设计优化代理模型技术的研究和应用[D]，南京：南京航空航天大学学报，2004

[2] Simpson，T.W.，Mauery，etal.Comparison of Response Surface and Kriging Models for Multidisciplinary Design Optimization[J].AIAA 98-4755

[3] 陶文铨，数值传热学，西安交通大学出版社，2001

作者简介

曾会华（1980-）：男（汉），江苏省如东县人，硕士研究生，广州民航职业技术学院讲师，主要研究方向为航空材料及飞机故障诊断。

最终得

其中，。

Kriging方法具有局部估计的特点，这使其在解决非线性程度较高的问题时比较容易取得理想的拟合效果。另外由于输入矢量各方向的核函数的参数cj可以取不同值，所以Kriging方法既可以用来解决各向同性问题也可以用来解决各向异性问题。5 优化算法

优化算法选用序列二次规划方法（Sequential Quadratic Programming简记为SQP）。二次规划（Quadratic Programming）是指目标函数为二次、约束函数为线性的非线性规划，常可利用最优解的K-T条件出发构造有效的解法。序列二次规划方法，将变尺度法用于约束极小化问题，这一方法是在当前的迭代点xk处，利用目标函数的二次近似和约束函数的一次近似构成一个二次规划，通过求解这一个二次规划获得下一个迭代点xk+1这种将求解非线性规划转换为求解一系列二次规划的方法，称为序列二次规划方法。

6 褶皱结构的优化设计

6.1 褶皱结构响应面的建立

根据上述的研究方法，4个设计变量通过用拉丁超立方抽样进行试验设计确定了40个试验设计点。应用ANSYS进行分析计算，得出与其相对应的上表面热流量，再计算出芯材的当量导热系数，如表1所示：

6.1.1 多项式响应面模型

褶皱结构响应面的建立对表1的计算结果进行二次多项式响应面拟合，即可定量分析各参数对当量导热系数和重量的影响。用拉丁超立方抽样进行试验设计得到二次多项式响应面的表达式为：

图4至11表示了各参数与r和m的关系。

从以上各图中可以看出，r随H和V的增加而增加，随L和S的增加而减小，变化规律和趋势与第三章的研究一致；而m随H、L和S的增加而减小，随V和S的增加而增加，变化规律由目标变量公式可知，也是一致相同的。

多项式响应面模型误差范围一般在10%～20%之间。虽然有些偏差，但是在前期选型阶段，对定性分析、选型来说，这个精度是可以接受的，所以我们可以用上述的二次多项式响应面模型公式来定性分析，选择我们需要的褶皱构型参数。

6.2 Kriging模型的建立

对表1的数据建立Kriging模型，可得各个参数的变化规律趋势大致同上。通过比较可以发现，Kriging模型精度更高，拟合的更好，更符合计算模型，在一定范围内完全可以替代ANSYS计算的当量导热系数的分析模型。

6.3 褶皱结构的优化结果

在Kriging模型建立响应面的基础上，我们利用序列二次规划方法进行优化设计，在这里结合工程实际，构型参数如下：

15mm≤H≤30mm；

15mm≤L≤40mm；

15mm≤S≤50mm；

15mm≤V≤40mm。

约束条件：

r=0.20W/m·℃。

目标变量：m=min。

优化结果为：设计变量H=21.48mm，L=40mm，S=50mm，V=15mm，目标变量m=0.52。

将优化所得设计变量代回ANSYS计算得r=0.21 W/m·℃。由目标变量公式可知m=0.53。

优化结果表明，代理模型的计算精度完全可以满足要求。

5 结束语

对V型褶皱芯材夹层板结构在同一传导系数要求下，如何精心设计、调整构型间的参数变化，通过设计优化取得比较合适的值使得结构重量最轻，这说明褶皱结构的设计优化是必要的。对V型褶皱芯材夹层板结构而言，还有很多问题有待于进一步深入研究：如综合考虑外形、结构、强度等要求，实现一体化设计。

参考文献

[1] 穆雪峰，多学科设计优化代理模型技术的研究和应用[D]，南京：南京航空航天大学学报，2004

[2] Simpson，T.W.，Mauery，etal.Comparison of Response Surface and Kriging Models for Multidisciplinary Design Optimization[J].AIAA 98-4755

[3] 陶文铨，数值传热学，西安交通大学出版社，2001

作者简介

曾会华（1980-）：男（汉），江苏省如东县人，硕士研究生，广州民航职业技术学院讲师，主要研究方向为航空材料及飞机故障诊断。