沉潜

中图分类号：O157.5 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）02-0374-01

证明：

【一】：在一个平面上最多只能有四个平面区域两两相邻。

①在一个无限的连续的平面上，用一条直线将平面分割为两个区域，分别记为区域a、区域b。此时两个区域公共部分为一条直线。（见图1、图2）

②再用一条直线将两区域公共直线分割，直线同一侧的区域a区域b合为同一个区域c。此时三个区域公共部分为一个点。（见图3）

③由于点无法继续分割，要使第四个区域d与前三个区域都相邻，则需要第四个区域d将原三个区域包围。（见图4）

④此时四个区域已无公共部分，接下来要使第五个区域e 与前四个区域都相邻。先使区域e与三个区域相邻。而区域e无论与哪三个区域相邻，要与第四个区域衔接时都会被那三个区域阻挡。（见图5）

也就是说，在一个平面上最多只能有四个平面两两相邻，即四色猜想。

【二】：在一个空间上最多只能有五个立体区域两两相邻。

（个人能力有限，图略）

①在一个无限的连续的空间上，用一个无限平面将平面分割为两个区域，分别记为区域a、区域b。此时两个区域公共部分为一个平面。

②再用一个平面将两区域公共平面分割，平面同一侧的区域a区域b合为同一个区域c。此时三个区域公共部分为一条直线。

③继续用一个平面将三个区域公共直线分割，平面同一侧的区域a区域b区域c合为同一个区域d。此时四个区域公共部分为一个点。

③由于点无法继续分割，要使第五个区域e与前四个区域都相邻，则需要第五个区域e将原四个区域包围。

④此时五个区域已无公共部分，接下来要使第六个区域f与前五个区域都相邻。先使区域f与四个区域相邻。而区域e无论与哪四个区域相邻，要与第五个区域衔接时都会被那四个区域阻挡。

也就是说，在一个空间上最多只能有五个立体区域两两相邻。