岳琪

[摘 要]随着视频定位技术的发展，太阳影子定位技术逐渐应用于各个领域，所以建立一套完整的太阳影子定位系统显得尤为重要。本文通过建立太阳高度角与影长的物理模型，影长变化的参数方程以及经纬度一元非线性最小二乘拟合模型，研究出直杆影长随时间地点的改变而变化的规律，从而确定观测地点的经纬度。本文主要根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将已知的影子顶点数据中的地表三维坐标系转化为平面二维坐标系，求出各个观测时间的影长；其次运用Matlab将观测时间与影长进行最小二乘拟合，得到一个影长关于时间变化的函数方程；并利用该方程计算出图像的最低点（即直杆影长最短太阳高度角最大的时刻--观测地点当地时间的正午），得到该地与东经120度的经度差，从而确定观测点的精确经纬度。最后，本文对模型进一步验证其具备合理性与实用性，使太阳影子定位技术在各领域的广泛应用有一定的参考价值。

[摘 要]物理模型；太阳高度角；最小二乘拟合；经纬度确定

中图分类号：TP101 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）20-0295-02

一、问题分析

这是一个利用物体影长的动态变化来确定地点和时间的问题。根据测量同一天不同时刻物体的影长，分析其随时间变化的规律，利用最小二乘法拟合出函数图像，排除干扰项，以求出物体所处的测量点和时间。问题的难点在于，能够将影长问题转化为物理模型中各种参数问题，需要分析的参数之间的关系较复杂：既要考虑测量地点的可涉及性，又要综合考虑地理环境的科学性和太阳运行的实际性，几个方面较难联系。

解决问题主要利用一元非线性最小二乘模型对数据进行拟合，列出误差方程和法方程，得到影长随时间变化的函数关系。利用影长最短，太阳高度角最大的原理，结合时角定理求出测量地点的经度。根据拟合方程求解出测量地点的纬度。通过物理模型建立通用的数学模型，在日期已知的情况下来确定测量地点的经纬度。

二、模型假设

1、假设所给数据真实可靠；

2、假设数据中所提供的方向均对应地理正方向；

3、假设测量区间内天气状况平稳，不会出现风沙等影响测量；

4、假设太阳的赤纬一天内不发生变化；

5、假设观测地面是水平的；

6、假设太阳光线进入地球时，空气介质等外界环境对光线无影响；

7、假设地球的自转角度一天内不发生变化；

三、符号说明

四.模型的建立与求解

4.1 太阳高度角与影长的物理模型

对于地球上的某个物体，太阳光直射到地面，其入射方向和地平面就会形成一个角度（即太阳高度角），故借助太阳高度角的物理模型和三角函数的知识，即求得影子长度 ：

太阳高度角具体成像如图1-1所示。

由式子1-3可知，当观测点的纬度已知，计算出太阳赤纬和时角即可求出太阳高度角

查询相关资料可到太阳赤纬公式如下：

太阳时角公式如下：

只要研究出，，三个自变量对参数的直接影响，就可以通过式子1-2，分析出影长关于各个参数的变化规律。综合4.1.1模型建立的公式得到影长的通用模型：

其中为因变量，，，作为自变量，也就是题目中所求的影响参数。

4.2最小二乘法模型

1.参数的引入

太阳天顶距：在球面的天文学中，天体在某一瞬间的天顶距，可以从天体的定位三角形中求得。

太阳在某一瞬间的天顶距可以表示为：

视赤经：

视赤纬：

计算瞬间太阳视天顶距（顾及天文折射改正与视差改正后的天顶距）：

2.用最小二乘法求算观测地点的经纬度

假设观测地点的地面是水平，则被测物体的高度和影长的关系为：

当影长一定时，可把由影长推算的的物高看做纬度和经度的函数，即

由式子2-4和2-5可得：

在式子1-14中以和为变量（其余视为常量）求出：

误差方程为

令，，

组成法方程：

对于每一物体已知高度的的物体的观测，列出一个误差式，即求出，分别存入，中，同时计算误差方程中的常数项。

由误差方程得到法方程，解出，之改正数，则得：

五、模型的检验

本文采用拟合优度的方式对该模型进行检验。在问题的求解过程中，借助Matlab进行最小二乘拟合，所以在检验中我们借助Excel的趋势线进行拟合，将已有的检验数据代入，求出可决系数，并得到验证，说明观测值的拟合程度很好。

六、模型的评价

6.1 模型的优点

在本文中设计并实现了物理模型和多元非线性最小二乘模型，该模型具有以下优点：

1、 将空间坐标系转化为直角坐标系，通过投影降维的方法简化了计算，简洁易懂。

2、 巧妙的利用物理模型将求解影长变化的问题转化为求太阳高度角的问题，适用范围较为广泛。

6.2 模型的缺点

在计算太阳高度角的过程中未考虑太阳光透过大气层时的折射等一系列外界因素的干扰，可能会产生太阳高度角偏大的情况；太阳赤纬在一天24小时内不是定值，虽然这些影响很小，但仍会产生细小误差，降低了模型的精确度。

参考文献

[1] 姜启源等，数学模型（第四版）[M]，北京：高等教育出版社，2011.

[2] 周建兴等，MATLAB从入门到精通[M]，北京：人民邮电出版社，2008

[3] 邓鹏飞等，基于影子轨迹线反求采光效果的技术研究[J]，上海，2010.

[4] 张卫国，一元线性模型最小二乘估计的强相合性[J]，宁夏，1993.

[5] 林根石，利用太阳视坐标的计算进行物高测量与定位[J]，南京，1991.