...课件 17.4泰勒公式与极值问题.ppt
[摘 要]泰勒公式显示了“函数逼近”的重要思想，在科学计算中具有十分普遍的应用.首先从误差的源头开始探讨，探寻了泰勒公式的来源，对不同型泰勒公式的定义进行了介绍.其次将泰勒公式余项从定性与定量角度来研究，从而加深了对泰勒余项定性与定量的理解.最后，介绍了带不同型余项泰勒公式之间的联系。
[关键词]泰勒公式；余项；定性；定量
中图分类号：TF046.6 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）16-0278-01
0 前言
随着当代技术的飞速发展，近似计算成为一种很重要的研究方法.泰勒公式体现了“函数逼近”的思想，在科学计算中有广泛的应用.很多大学生由于注重泰勒公式计算方面的应用，但关于理论方面的应用则显得力不从心，纠其缘故，是因为对泰勒余项定性与定量形式缺乏理解。故有必要对泰勒公式从定性与定量方面进行探讨。
不少研究者已在对泰勒公式中各种余项的证明与应用方面的研究领域取得无数研究成果.结合全国大学生数学竞赛和考研等的实际需要，有必要对泰勒公式进行进一步的研究。
1 带不同型余项泰勒公式的比较
能使可微函数用一个多项式函数与余项的和来表示的是泰勒公式[4]，它显示了用多项式逼近可微函数的思想，在理论分析和近似计算中有重要作用.依照余项的不同可将泰勒公式分为四种类型：带佩亚诺型、带拉格朗日型、带柯西型、带积分型的泰勒公式。因为往往会用到带佩亚诺型和带拉格朗日型余项的泰勒公式，因此主要研究这两种类型余项的泰勒公式。
1.1 带佩亚诺型余项的泰勒公式
定理2.1.1[3] 若函数在点处阶可导，则有
，即
（2-1）
（2-1）式称为函数在处的泰勒多项式，其中称为泰勒公式的余项，形的余项称为佩亚诺型余项。
1.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式
定理2.1.2[3] 若函数在上阶连续可导，在上阶可导，则对任意给定的，，至少存在一点，使得
称为函数在处的泰勒多项式，其中
， .
称为拉格朗日余项。
1.3 带有柯西型余项的泰勒公式
定理2.1.4[5]若函数在点的某邻域内有阶连续导数，则对有
其中.
特别当，则有
，此处一并称为柯西余项。
1.4 带有积分型余项的泰勒公式
定理2.1.5[5] 若函数在点的某邻域上有阶连续导函数，则对，有
其中称为积分型余项，故（2-5）又称为带有积分型余项的泰勒公式。
2 对泰勒公式余项定性与定量的理解
对泰勒公式余项的定性与定量要有准确的了解，首先得清楚泰勒余项的定义：
即函数与泰勒多项式的差为泰勒余项.故函数与泰勒多项式和余项的关系是整体和部分的关系.其次，要掌握佩亚诺型余项与拉格朗日型余项的本质.事实上，根据高阶无穷小的定义，佩亚诺型余项的本质，是泰勒余项是比更高阶的无穷小，即：
严格意义上讲，佩亚诺型余项原则上应记为“
”.故（2-1）式原则上应写为
（2-5）
带佩亚诺型余项的泰勒公式（2-1）中的事实上是一个变量.它在的某个邻域内变化.故所谓泰勒余项的定性，是指佩亚诺型余项
涉及的函数当时为无穷小量的这一特殊性质。
拉格朗日型余项本质上表示一个量，即用在的阶导数以及来表示余项.泰勒公式余项的定量，是指从量的角度用拉格朗日型余项来表示泰勒余项的实际大小。
3 泰勒公式四种余项之间的联系
通过上述四个定理的证明能够清楚地看到这几种带不同型余项的泰勒公式之间是能够相互转化的.
比较带不同型余项的泰勒公式所反应的特点：
1.余项的形式不同。
2.佩亚诺型余项只须在点阶可导就可得出，因此在时，从阶的估计为出发点，佩亚诺型余项更有优越性，但在不明确是不是趋于而要估计余项时，佩亚诺型余项就没有拉格朗日型与柯西型余项优越了.
3.不管泰勒公式的余项是哪一种形式，本质上都是统一的，仅仅是形式上不同，但在利用不同形式的余项时，所获得的“余项估计”有可能不同.
4 结语
由于泰勒公式是用增量法原理推导而来的，故在许多近似题目中都有应用，但并不是所有的近似题目都能用泰勒公式，使用泰勒公式有一些约束条件，务必是阶连续可微函数，近似的阶数越小，呈现的误差就会越大.泰勒公式体现了用多项式迫近函数的思维，在微积分、科学计算等各个方面都有重要应用.通过上面几个方面的研究，使我们在平常的解题如考研或数学竞赛中能将泰勒公式很好的应用.只有理解了这些知识，然后不断加强训练，才能熟练掌握，并且善于运用.
参考文献
[1] 王素芳.泰勒公式在计算及证明中的应用[J].洛阳工业高等专科学校，2012.
[2] 许绍元.泰勒公式的余项的定性与定量形式——谈谈在大学数学教学中如何培养学生的创新能力[J].韩山师范学院学报，2014（03）：73-77.
[3] 华东师范大学数学系.数学分析上[M].北京：高等教育出版社，2010：137-147.
[4] 华东师范大学数学系.数学分析下[M].北京：高等教育出版社，2010：136～145.
[5] 姚海燕.带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明[J].教育教学论坛，2014（20）：120.
作者简介
景嫄（1992—） 女，山西省晋中市人，学历：硕士研究生，专业：-数学--。
