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庄苗苗++杨雯++刘建民
[摘 要]本文给出了研究模型的一种新方法，将其分解成两个无限服务台（IS）设施的串联来进行模型逼近，将复杂问题简单化，得到研究模型的相关性能指标。
[关键词]无限服务台 串联 性能指标
中图分类号：TN916.8+2 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）19-0330-02
我们探讨如何将IS模型用到一种新的研究方法中。以前用模型[1]代替模型，即可忽略顾客的放弃过程。现在给定一种新的研究方法，将该模型表示为两个IS设施的串联：
其中和对每个均是相互独立的泊松随机变量；三个流出过程是泊松过程。
假设每个到达后未放弃的顾客在进入服务前的等待时间是.为了实现逼近过程中的假设条件，设定等待空间无限，要求外来顾客先进入等待空间且在经过了固定时间后才可进入服务设施接受服务。（这种假设实现于逼近过程而非实际系统中。）然而在等待空间中，顾客可以选择放弃而非进入服务设施接受服务，这种现象称为顾客的流失。如同初始模型，假设连续到达顾客的放弃时间是i.i.d.的随机变量且累计分布函数为.由此产生的模型是近似的DIS模型。
DIS模型带有参数，顾客进入系统后，若顾客没有中途放弃，则顾客必须在等待时间后才可进入服务设施接受服务。这个假设实现的前提是服务设施中有无限个服务台。假定在时刻系统是空的，在时刻让第一个到达的顾客进入服务设施接受服务。因此，对于时刻，顾客以速率进入服务设施，其中是到达率函数，.
因此所有到达后中途未放弃的顾客在接受服务前必须等待时间，顾客的放弃概率是.因此，我们可以最初指定目标放弃概率或目标延迟.如果是连续的，对于任一给定的，恒有成立。如果是严格递增的，则.假设函数是连续且严格递增的。故在DIS模型中用参数或是刻画均可。
对图1中的DIS模型逼近过程中的各项指标作详细描述，规定目标等待时间为，初始模型为，到达率函数为，服务时间的累计分布函数是而放弃时间的累积分布函数是.定义和分别是服务时间和放弃时间的随机变量；即，对于，有和.假定.（不需假定，因在我们的逼近过程中顾客的放弃只发生在时刻之前。）因是连续的，且在处无点集，即，因此，在队列中等待时间后的顾客行为是没有歧义的。
这个逼近模型可看成两个队列[2]的串联。等待空间的到达率函数是且服务时间是，但对于服务设施而言，其到达率函数是，其中，，且服务时间的累积分布函数是.定义是截断随机变量的累积分布函数，即
在处有点概率集，因.
假设系统开始运行的时刻是，且满足到达系统后未放弃的顾客在等待时间后才进入服务。如果要求在0时刻系统是空的，则可设定对于所有的有.
我们将到达过程分解成两个相互独立的泊松过程，一个的统计对象是最终被服务的顾客，另一个的统计对象是最终放弃的顾客。每个顾客最终被服务的概率是。我们通过进一步修正这两个泊松过程可得到顾客进入服务的计数过程和顾客放弃服务的计数过程。（这两个计数过程也是相互独立的泊松过程。）每一个过程均可用队列的离开过程来描述。对顾客进入服务的计数过程而言，顾客的服务时间是常数；对顾客放弃服务的计数过程而言，顾客的服务时间是.通过这种构造，证明顾客进入服务设施的过程是速率为的非齐次泊松过程。
表示时刻队列中顾客放弃前的剩余时间大于的顾客数，表示时刻队列中的顾客总数。随机变量的刻画详见图2.平面内的点表示顾客在时刻到达且放弃时间为.在时间段的即为图中的阴影区域。假设所有放弃时间大于的顾客均可被服务，在时刻前到达且放弃时间大于的顾客均可在时刻前进入服务设施。
表示时刻服务设施中顾客的剩余服务时间大于的顾客数，表示时刻服务设施中的顾客总数。表示时刻系统中的顾客总数。是时刻的潜在等待时间，即在时刻到达且有无限耐心的顾客在进入服务前的虚等待时间。
对于这种逼近，我们总结如下：随机变量非负，，其累积分布函数是，表示剩余时间的累计分布函数为的随机变量，定义
的矩可用的矩来表示，具体如下：
和是模型参数为的函数，.
定理 上述对于模型[3]的DIS逼近，假设开始时刻，延迟参数，放弃概率.此逼近使得依概率为1成立，对于所有的到达顾客的放弃概率为.此外，和对于任一均是相互独立的泊松随机变量且对于每一个都有，均值为
和分别是时刻队列和服务中的顾客总数，它们是相互独立的泊松随机变量，均值为
其中，是随机服务时间。
因此，，即时刻系统中的顾客总数，是一个泊松随机变量，均值为.顾客的放弃过程（放弃率为）和顾客进入服务的过程（服务率为）是两个相互独立的泊松过程，其中
顾客离开过程（完成服务的顾客总数）也是一个泊松过程，顾客离开率为
参考文献：
[1]Eick，S.G.，W.A.Massey，W.Whitt.1993a.The physics of the queue.Oper.Res.41 731-742.
[2]Eick，S.G.，W.A.Massey，W.Whitt.19993b.queue with sinusoidal arrival rates.Management Sci.39 241-252.
[3]Liu，Y.，W.Whitt.2012a.The many-server fluid queue.Queueing Systems 71 405-444.
